Respostas do Livro de Geometria Analítica - Steinbrush

2.8 Problemas Propostos
1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, −5), sabendo que sua origem e o ponto A(−1, 3).
´
Solucao:
¸˜
v=B−A

(2, −5) = (x, y) − (−1, 3)

Para x temos,

x+1=2⇒x=1
Para y temos, y − 3 = −5 ⇒ y = −5 + 3 ⇒ y = −2
Logo, o ponto da extremidade e igual a:
B = (1, −2)
2. Dados os vetores u = (3, −1) e v = (−1, 2), determinar o vetor w tal que:
a) 4(u − v) + 1 w = 2u − w
3
Solucao:
¸˜

1
4(u − v) + w = 2u − w
3
Substitu´do os valores dos respectivos vetores, ı 1
4[(3, −1) − (−1, 2)] + (x, y) = 2(3, −1) − (x, y)
3
Efetuando as operacoes;
¸˜
x y
(16, −12) + ,
= (6 − x, −2 − y)
3 3 y x
16 + , −12 +
= (6 − x, −2 − y)
3
3 x x + 3x x Para x temos a seguinte igualdade; 16+ = 6−x ⇒ +x = 6−x ⇒
= −10 ⇒
3
3
3
−15
−30
⇒ x= x + 3x = −10 ⇒ 4x = −30 ⇒ x =
4
2
Para y temos a seguinte igualdade; y y + 3y y = 10 ⇒ y + 3y = 30 ⇒ 4y = 30 ⇒
−12 + = −2 − y ⇒ + y = −2 − y ⇒
3
3
3
30
15
y=
⇒ y=
4
2
3

Resultado: w =

−15 15
,
2 2

b)3w − (2v − u) = 2(4w − 3u)
Solucao:
¸˜
Substitu´do os valores dos respectivos vetores; ı 3(x, y) − [2(−1, 2) − (3, −1)] = 2[(4(x, y) − 3(3, −1)]

(3x, 3y) − [(−2, −4) − (3, −1)] = 2[(4x, 4y) − (9, −3)]

(3x, 3y) − (−5, 5) = 2(4x − 9, 4y + 3)

(3x + 5, 3y − 5) = (2(4x − 9), 2(4y + 3))

Para x temos a seguinte igualdade;
3x + 5 = 8x − 18

3x − 8x = 18 − 5

−5x = −23
23
x=
5
Para y temos a seguinte igualdade;
3y − 5 = 8y + 6

3y − 8y = 6 + 5

−5y = 11
−11
y=
5
23 −11 w= ,
5 5

−→ − −
−
→ − −
→ → −
→ −
→
3. Dados os Pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, 1), calcular OA − AB, OC − BC e 3BA − 4CB.
Solucao:
¸˜
−→
−
Resolvendo: OA ⇒ A − O ⇒ (−1, 3) − (0, 0) ⇒ (−1, 3)
−
→
Resolvendo: AB ⇒ B − A ⇒ (2, 5) − (−2, 3) ⇒ (3, 2)
Efetuando a Operacao:
¸˜
−→ −
−
→
OA − AB = (2, 5) − (−1, 3) ⇒ (−4, 1)
−→ −
−
→
OA − AB = (−4, 1)
−
−
→
Resolvendo: OC ⇒ C − O ⇒ (3, −1) − (0, 0) ⇒ (3, −1)
−
→