respostas atividade 05

PROFMAT - DISCIPLINA MA11 / 2012
UNIDADE 14 - Tarefa 5

Definida a fun¸˜o exponencial f de base a, ca f : R → R+ , f (x) = ax , f possui as seguintes propriedades fundamentais:
(1) ax · ay = ax·y ;
(2) a1 = a;
(3) x < y ⇒ ax < ay , quando a > 1, e ay < ax , quando a < 1.
No texto, fica demonstrado que f (r) = ar ´ a unica fun¸˜o f : Q → R+ tal que f (r + s) = e ´ ca f (r) · f (s), para todos r, s ∈ Q, f (1) = a e que a propriedade (3) ´ verdadeira para f . Portanto, e x para x irracional. existe uma unica maneira de definir o valor f (x) = a
´
Seja a > 1. Ent˜o y = ax tem a seguinte propriedade: a ∀r, s ∈ Q, r < x < s ⇒ ar < ax < as .
Portanto, quando x ´ irracional, ax ´ o (´nico) n´mero real cujas aproxima¸˜es por falta s˜o as e e u u co a r (r < x), e cujas aproxima¸oes por excesso s˜o as potˆncias as (x < s). potˆncias a e c˜ a e
Se a < 1, ent˜o para x irracional temos que a ∀r, s ∈ Q, r < x < s ⇒ as < ax < ar , cujas aproxima¸˜es por falta para ax s˜o as potˆncias as , x < s, e cujas aproxima¸˜es por excesso co a e co r , r < x. s˜o as potˆncias a a e

A Tarefa 5 consiste em mostrar as propriedades (1) e (3) para f (x) = ax quando x ´ irracional, e que ´ sugerido pelo autor na p´gina 5 da Unidade 14. Claro que a propriedade (2) ´ sempre e a e verdadeira j´ que x = 1 ´ racional. a e
(1) ax · ay = ax·y ;
Suponhamos a > 1 e sejam x e y irracionais. Ent˜o a ∀k, l ∈ Q, k < x < l ⇒ ak < ax < al ,

(1)

∀p, q ∈ Q, p < y < q ⇒ ap < ay < aq ,

(2)

De (1) e (2) e pela monotonicidade da multiplica¸˜o temos que ca ak · ap < ax · ay < al · aq , ou ainda, sabendo que a propriedade (1) vale para as potˆncias racionais temos que e ak+p < ax · ay < al+q .

(3)

Considerando agora o n´mero real x + y, temos que u ∀m, n ∈ Q, m < x + y < n ⇒ am < ax+y < an .
1

(4)

Observemos que cada n´mero racional m, com m < x + y, pode ser escrito como uma soma u de racionais k e p, com k < x e p < y, e da