Resolução do livro Guidorizzi

Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de um número real
Exercícios 1.3

1. Elimine o módulo:
Dica:
-Definição de módulo:

- Propriedades úteis:

i) |x| ≥ 0 ii) |x|² = x²

- Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c:
a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:

ax² - c = 0 ax² = c x² = c/a x = ± √c/a

Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais diferentes. Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a.

b) Graficamente:

Se a > 0 :

( Supondo x1 < x2 )

Se a < 0:

( Supondo x1 < x2 )

- Estudo do de expressões na forma ax + b:

a) |-5| + |-2|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:
|-5| = -(-5) = 5 , sendo -5 0

c) |-a|, a > 0
Solução:
Se a > 0, logo –a < 0, portanto pela definição de módulos, temos:
|-a| = - (-a) = a , pois -a < 0

c) |a|, a < 0
Solução:
Pela definição de módulo, temos:
|a| = -a , pois a < 0

d) |-a|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

e) |2a| - |3a|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

e

Assim,

-Se a ≥ 0:
|2a| - |3a| = 2a - 3a = -a

-Se a < 0:
|2a| - |3a| = -2a - (-3a) = -2a + 3a = a

Portanto,

2. Resolva as equações.

a) |x|= 2
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

b) |x+1|=3
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

c) |2x-1|=1
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

d) |x-2|=-1
Solução:
Não adimite solução pois |z| ≥ 0, para qualquer z, portanto |x-2| = -1 < 0 não é válido.

e) |2x+3|=0
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

f) |x|=2x+1
Solução:
Pela definição de módulo, temos:

Substituindo:

|x|= 2.(-1) + 1 = -2 + 1 = -2 < 0
|x|= 2. + 1 = + 1 = = > 0

Observe que se x = -1, o módulo resulta em um número negativo, portanto não é válido. Assim |x| = 2x+1 , somente para .

3. Resolva as inequações.
Dica :
- Definição de módulo:

- Propriedades úteis:

i) |x| ≥ 0 ii) |x|² = x²

a) |x|≤ 1
Solução:
|x|² ≤ 1² x² ≤