Resoluçao capitulo 6 mecanica dos fluidos - Franco

Páginas: 8 (1913 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
Capítulo 6
ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA
Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a
construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita
a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza.
O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica
dosFluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise
experimental.
Exercício 6.1
Base FLT

[A] = L2
[V] = L3
[a ] = LT −2
[m] = FL−1T 2
[F] = F
[ρ] = FL−4 T 2
[γ ] = FL−3
[p] = FL−2
[τ] = FL−2
[Q] = L3 T −1
[Q G ] = FT −1
[Q m ] = FL−1T 2 × T −1 = FL−1T
[μ] = FL−2 T
[ν] = L2 T −1
[M] = FL
[W ] = FL
[N] = FLT −1

Base MLT

[A] = L
[V] = L3
[a ] = LT −2[m] = M
[F] = MLT −2
[ρ] = ML−3
[γ ] = MLT −2 × L−3 = ML−2 T −2
[p] = MLT −2 × L−2 = ML−1T −2
[τ] = ML−1T −2
[Q] = L3 T −1
[Q G ] = MLT −2 × T −1 = MLT −3
[Q m ] = MT −1
[μ] = MLT −2 × L−2 T = ML−1T −1
[ν] = L2 T −1
[M] = MLT −2 × L = ML2 T −2
[W ] = ML2 T −2
[N] = MLT −2 × LT −1 = ML2 T −3
2

Exercício 6.2
Base : ρ, n , D
π1 = ρ α1 n α 2 D α3 μ ⇒
π 2 = ρ β1 n β2 D β3 Q ⇒

nD2
μ
ν
(número de Re ynolds)
=
⇒ Re =
ρnD nD
ν
Q
π2 =
= φ (coeficiente de vazão)
nD 3

π1 =

π 3 = ρ δ1 n δ 2 D δ3 γH B



π3 =

γH B
ρn D
2

2

=

gH B
n 2D2

= Ψ (coeficiente manométrico )

Exercício 6.3

p = f (ρ, g, h )

f (p, ρ, g, h ) = 0 → f (π ) = 0

[p] = FL−2
[ρ] = FL−4 T 2
[g ] = L2 T −1
[h ] = L

m=n–r=4–3=1

Como só existe umadimensional, ele será uma constante.
p
π=
= C ⇒ p = Cρgh
ρgh

Exercício 6.4
f (T, l, g ) = 0
π = l α1 g α 2 T

→ π = Lα1 Lα 2 T − 2α 2 T

→ π = Lα1 + α 2 T − 2α 2 +1

α1 + α 2 = 0

1
1
− 2α 2 + 1 = 0 ⇒ α 1 = − ; α 2 =
2
2
π=l



1 1
2g2T

=T

g
l

⇒ T=C

l
g

Exercício 6.5
Q = f (D, ρ, p )
f (Q, D, ρ, p ) = 0 → f (π) = 0

Como só existe um adimensional, ele seráuma constante.

[Q] = L3T −1
[D] = L
[ρ] = FL−4 T 2
[p] = FL−2

m = n − r = 4 − 3 =1
Base : ρ, p, D

(

π = ρ α1 p α 2 D α3 Q = FL−4 T 2

)α (FL−2 )α
1

2

Lα3 L3 T −1

π = F α1 + α 2 L−4α1 −2α 2 +α3 +3 T 2α1 −1
1
2
α 3 = −2
α2 = −

α1 + α 2 = 0
− 4α1 − 2α 2 + α 3 + 3 = 0
2α1 − 1 = 0

α1 =

1
2

1
1
1

Qρ 2
π = ρ 2 p 2 D −2 Q =
1
2 2
D p

Q = CD 2



Exercício 6.6
f (v, g, h ) = 0
π = g α1 h α 2 v → π = Lα1 T − 2α1 Lα 2 LT −1

→ π = Lα1 + α 2 +1T − 2α1 −1

α 1 + α 2 + 1 = 0⎫
1
1
⎬ α 2 = − ; α1 = −
− 2α 1 − 1 = 0 ⎭
2
2
π=g



1
1

2h 2v



Q = vA → A =

v = π gh
bh
2



tg

( 2 ) = Cg

α b
=
2 2h

b = 2htg α

1 5
2h2

Q = π gh × h 2 tg α



2



Exercício 6.7
N B = f (γ, Q, H B)

f (N B , γ, Q, H B ) = 0 → f (π ) = 0
Como só existe um adimensional, ele será uma constante.

[N B ] = FLT −1
[γ ] = FL−3
[Q] = L3 T −1
[H B ] = L

m = n − r = 4 − 3 =1
Base : γ , Q, H B

A=

( 2 )× h = h tg(α )
2
2

2htg α

2

(

π = γ α1 Q α 2 H α3 N B = FL−3
B

) (L T )
α1

3

−1 α 2

Lα3 FLT −1

π = F α1 +1 L−3α1 +3α 2 +α3 +1T −α 2 −1
α1 + 1 = 0

α1 = −1

− 3α1 + 3α 2 + α 3 + 1 = 0



α 3 = −1

− α2 −1 = 0


π = γ −1Q −1H B1 N B

α 2 = −1
N B = CγQH B

Exercício 6.8
Grandezas : ρ, v, L, μ, F, g, c
Base : ρ, v, L
π1 = ρ α1 v α 2 Lα3 μ ⇒

π1 = F α1 L− 4α1 T 2α1 Lα 2 T −α 2 Lα3 FL− 2 T

π 2 = ρ β1 v β2 Lβ3 F ⇒

π1 = F β1 L− 4β1 T 2β1 Lβ2 T −β2 Lβ3 F

π 3 = ρ δ1 v δ 2 Lδ3 g ⇒

π1 = F δ1 L− 4δ1 T 2δ1 Lδ 2 T −δ 2Lδ3 LT − 2

π 4 = ρ λ1 v λ 2 Lλ3 c ⇒

π1 = F λ1 L− 4λ1 T 2λ1 Lλ 2 T −λ 2 Lλ3 LT −1

α1 + 1 = 0



− 4α 1 + α 2 + α 3 − 2 = 0⎬

2α 1 − α 2 + 1 = 0


β1 + 1 = 0

α 1 = −1
α 3 = −1



π1 = ρ −1 v −1 L−1μ =

α 2 = −1

β1 = −1



− 4β1 + β 2 + β 3 = 0⎬

2β1 − β 2 = 0


β 3 = −2



π 2 = ρ −1 v − 2 L− 2 F =

β 2 = −2



− 4δ1 + δ 2 + δ 3 + 1 = 0⎬...
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