Renzo piano

Páginas: 19 (4738 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
UNIDADE CENTRAL DE EDUCAÇÃO FAEM FACULDADE LTDA
FACULDADE EMPRESARIAL DE CHAPECÓ - UCEFF
Autorizada pela portaria nº 3.376 de 17 de novembro de 2003.
Recredenciada pela Portaria nº 1.436, de 7 de outubro de 2011.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

Professora: Lidiane De Cól

1 MATRIZES
1.1 Introdução
O crescente uso dos computadorestem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras.
Vejamos um exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química

Inglês

Literatura

Espanhol

A

8

7

9

8

B

6

6

7

6

C

4

8

5

9

Se quisermos saber a nota do aluno B emLiteratura, basta procurar o número que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como
no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas
de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhase n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são
denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

1.2 Definição
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam,respectivamente, a linha e a coluna
que o elemento ocupa
Representação genérica de uma matriz A do tipo m x n é representada por:

2

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna
que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª
coluna.
Exemplo
1.

Na matriz

,

temos:

2. Obtenha a matriz A =(Aij)3x3 em que aij = 3i – j².

1.3 Tipos de Matrizes
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.



Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz
A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,

, do tipo 3 x 1

3



Matriz quadrada: matriz dotipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e
colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz
2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

é do tipo

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 éelemento da diagonal principal, pois i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)


Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo,

.



Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos. Por exemplo:



Matriz identidade: matrizquadrada em que todos os elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz.
Por exemplo:

4



Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linhade A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª
coluna de At.


Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = aji.


Matriz antissimétrica: uma matriz quadrada
Exemplo:

é antissimétrica se

é antissimétrica. De fato:



.

, isto...
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