Relaçoes metricas do triângulo

RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÃNGULO Se o triângulo retângulo em A, então a altura AH separa-o em dois novos outros triângulos como na figura abaixo,

o triângulo HBA e o triângulo HAC ambos semelhantes ao triângulo ABC. Agora examinando a proporcionalidade existente entre os lados deste três triângulos, obteremos certo número de relações, que apresentam uma grande variedade de aplicações. Inicialmente, fixemos alguma nomenclatura em relação ao triângulo, retângulo, de acordo com as figuras aba
Hipotenusa = a Altura relativa á hipotenusa = h
Catetos = b e c Projeção do cateto b sobre a hipotenusa = m Hipotenusa = m
Teorema (1): Em todo triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A, altura AH relativa á hipotenusa do triangulo determina pares de triângulos semelhantes:
ABC ~HBA ABC ~ HAC HBA ~ HAC

Como consequência desse Teorema (1) temos as seguintes proporções envolvendo as medidas dos lados e da altura:
a) ABC ~ HBA temos que: b) ABC ~ HAC temos que: c) HBA ~ HAC temos que: Daí decorrem as chamadas RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:
De b), vem que: b2= a ˖ m
De a), vem que: c2= a ˖ n
De a), vem que: b ˖ c = a ˖ h
De c), vem que: h2= n ˖ m
Somando as duas primeiras igualdades e lembrado que a= m+n, temos: b2+c2 = a ˖ m + a ˖ n = a ˖ (m+n) = a ˖ a = a2 ou b2 + c2 = a2 que é conhecido teorema de Pitágoras.
EXEMPLOS:
1º) Seja um triângulo ABC, cuja AH encontra a base BC num ponto H, interno ao segmento BC. Prove que, se AH é média geométrica entre BH e HC, então o triângulo é retângulo em A.
Solução
Sabemos que h2= n˖m e devemos provar que  é reto. No HBA, temos c2= h2+n2 No HCA, temos b2=h2+m2 Assim, b2+c2=2h2+m2+n2= =2mn+m2+n2= (m+n)2=a2 donde  é