Relaçoes binarias

Relações

1. Produto cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados com .
Notação:

2. Relação binária

Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de . Se indicamos por e indicamos por .

3. Domínio e imagem

Seja uma relação binária de A em B. Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de para os quais existe algum y em B com . Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de para os quais existe algum x em A com .

4. Propriedades das relações

Seja
i) Reflexiva

Dizemos que é reflexiva se ou
Exemplo 1:
Mostremos que as relações dadas são reflexivas.
a) Seja sobre. é reflexiva, pois .
b) Seja é reflexiva, pois para
c) Seja sendo S plano euclidiano. é reflexiva, pois para

ii) Simétrica Dizemos que é simétrica se, e somente se .

Exemplo 2:
Mostremos que as relações dadas são simétricas.
a) Seja sobre . é simétrica, pois .

b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: sendo S plano euclidiano. é simétrica, pois .

iii) Transitiva

Dizemos que é transitiva se, e somente se .

Exemplo 3:
Mostremos que a relação sobre é transitiva. é transitiva pois, .

iv) Anti-simétrica

Dizemos que é anti-simétrica se, e somente se ou equivalente.
Exemplo 4:
Mostremos que a relação sobreé anti-simétrica. A sentença é verdadeira, pois é verdadeira.
Exemplo 5:
A relação sobrenão é anti-simétrica.
Não é anti-simétrica pois,.

Observação:
Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas.

Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço.

Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.

Transitiva: Todo par de flechas consecutivas deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.

Anti-simétrica: Não há