relatorio de acidos

Cap´ ıtulo 28
Integrais Impr´prias o 28.1

Introdu¸˜o ca ∫b
A existˆncia da integral definida a f (x) dx, onde f ´ cont´ e e ınua no intervalo fechado [a, b], ´ garantida pelo teorema e fundamental do c´lculo. Entretanto, determinadas aplica¸˜es do C´lculo nos levam a formula¸˜es de integrais em que: a co a co ca a e
1. ou o intervalo de integra¸˜o n˜o ´ limitado;
2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].
Nosso objetivo neste cap´ ıtulo ´ definir e calcular integrais deste tipo, chamadas integrais impr´prias. e o

28.2

Exemplos
∫

A integral

∞

e−x dx ´ um exemplo do caso 1, acima. e 2

0

Podemos interpretar, geometricamente, esta integral como a ´rea da regi˜o n˜o-limitada abaixo da curva y = e−x , a a a acima do eixo x e ` direita do eixo y. a 2

1
0.8
0.6 y 0.4
0.2
0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 x 1.2 1.4 1.6 1.8

2

Como esta regi˜o ´ ilimitada, poder´ a e ıamos esperar que a sua ´rea tamb´m o fosse. No entanto, o gr´fico parece a e a indicar que a partir de x = 2 a ´rea sob a curva ´ muito pequena e diminui cada vez mais ` medida que ∫ aumenta. a e a x
2

Dessa maneira ´ poss´ esperar que, a partir de x = 2, os acr´scimos ` ´rea representada pela integral e ıvel e aa
0

e−x dx
2

sejam t˜o pequenos que a ´rea total da regi˜o n˜o ultrapasse um determinado valor. De fato, avaliando a integral a a a a
∫ b
2
e−x dx, para b = 2, temos
0
>

evalf(int(exp(-x^2),x=0..2));
.8820813910

Continuando a calcular o valor desta integral para valores de b sucessivamente maiores, obtemos evalf(int(exp(-x^2),x=0..5)); .8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..6));
.8862269255
> evalf(int(exp(-x^2),x=0..10)); .8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..15));
.8862269255

>

388

Cap. 28. Integrais Impr´prias o Repare que a partir de b = 5 o valor da integral, calculado com 10 d´ ıgitos, se estabiliza e parece convergir
para