Relatório de fractais - laboratório de física

Páginas: 5 (1200 palavras) Publicado: 8 de abril de 2014
1. OBJETIVOS
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares.
2. MATERIAL UTILIZADO
02 Folhas de papel tamanho A4;
Paquímetro (instrumento para medição de espessura dos objetos).
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A natureza é cheia de formas e contornos que ao olharmos distraídos parecem aleatórios e caóticos: os galhos das plantas, as formas dos raios de trovões, os contornos dasmontanhas, o floco de neve. Mas todos esses objetos e fenômenos têm uma especial geometria chamada fractal. Aprende-se pela geometria euclidiana que os objetos regulares têm suas medidas e dimensões exatas, por exemplo: um ponto é adimensional (sem dimensão) e tem medida nula, um segmento de reta é um conjunto de pontos, tem dimensão 1 e comprimento L, um quadrado é um conjunto de 4 segmentos dereta de tamanhos iguais, tem dimensão 2 e área A (produto da largura pela altura), um cubo é um conjunto de 6 secções de planos de áreas iguais, tem dimensão 3 e volume V (produto da largura, altura e profundidade). A primeiro momento pareceria estranho falar em objetos com dimensões fracionárias, mas ao medir a maioria dos objetos da natureza sempre se carrega uma incerteza e falta de exatidão,eles não são “regulares”, daí se conclui que eles fogem à regra dos objetos de dimensão inteira, são chamados fractais. Ignorar a existência dos fractais é como conceber que só existem números inteiros “1, 2, 3, 4...”, mas sabemos que entre dois números inteiros existem infinitos números, assim as dimensões fracionárias podem ser encontradas na natureza nas mais diversas formas nos fenômenos acimacitados, por exemplo, o floco de neve tem um padrão na forma como é constituído, mas é impossível calcular o perímetro com exatidão, porque é um triângulo equilátero com triângulos equiláteros subdivididos igualmente em cada um de seus lados, e nesses triângulos menores se constitui o mesmo padrão e assim segue indefinidamente aumentando pouco a pouco o perímetro, veja na seguinte figura:Nesse experimento foi tratada a constante d, que pode assumir valores inteiros e/ou fracionários. Para formas geométricas elementares (quadrado, cubo, etc) d tem um valor inteiro e é interpretado como a dimensão do objeto. Assim se trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade uniforme, teremos


onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro.
A equação(1) pode ser escrita da seguinte forma:


onde,


A versão bidimensional das equações (1) e (2) será:



onde,


Já na forma unidimensional temos:










4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
a) Foram construídas sete bolas de papel amassado, dividindo cada folha como indicado na figura 2. Atribuímos à menor fração da folha massa 1 e às seguintes massas 2, 4, 8,... Assim aenésima fração, em ordem crescente de tamanho, teria massa relativa 2n.







b) Para cada uma das bolas de papel fizemos sete medidas do diâmetro em pontos diferentes, determinado o diâmetro médio para cada uma delas. Elaboramos a tabela abaixo calculando a incerteza estimada ∆D associada ao tamanho de cada bola.


Tabela 1. Tabela de medidas dos diâmetros e desvios, com suas respectivasmédias.

c) Utilizando a tabela 1, construímos o gráfico log-log do diâmetro versus a massa (M). Temos,
D = KM1/d;
log(D) = log(KM1/d);
log(D) = log(K) +log(M1/d);
log(D) = log(K) + (1/d)log(M);

tomando Y = log(D); b = log(K) (coeficiente linear); a = 1/d (coeficiente angular); X = log(M), teremos a seguinte função linear:
Y = b + aX
que será a função da reta média plotada no gráficodiâmetro versus massa em anexo [D(x10cm) X M(u.m.)]. Podemos encontrar o possível valor de “a” por meio dos coeficientes angulares máximo e mínimo das retas que formam o retângulo que contém os desvios das medidas:
amáx = ∆Ymáx/∆X;
amin = ∆Ymin/∆X;
= (amáx + amin)/2
Daí se pode deduzir o possível valor de d:
a = 1/d; d = 1/a;

Entretanto, faremos da seguinte forma: assumindo que D = KM1/d,...
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