Regras Limites

Ciências Econômicas - Métodos Quantitativos

Prof Dra Deiby Santos Gouveia
Limites

1. Propriedades de limite
𝑆𝑒 lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim 𝑔(𝑥) = 𝑀 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑒 𝑘 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

I.

lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘

II.

lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎

III.

lim𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ±lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀

IV.

lim𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) . lim 𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝐿

V.

lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = lim

VI.

lim𝑥→𝑎 n√f(x) = n√lim𝑥→𝑎 f(x) = √L , desde que L > 0 quando n for par.

VII.

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

= 𝑀 , 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0 𝑒 lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎

n

lim𝑥→𝑎 𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 (função polinomial), então: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

- Seja L um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em L. Temos que: lim 𝑓(𝑥) ↔ lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

- Limites Infinitos: Seja f e g funções tais que: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑐 ≠ 0 e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0. Então:
𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = +∞ se 𝑔(𝑥) > 0 quando x se aproxima de a lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = −∞ se 𝑔(𝑥) < 0 quando x se aproxima de a

- Limites no Infinito:

1 - Se C  R, lim𝑥→±∞ 𝑐 = 𝑐 ( indica que é válido para +  e para - )
2 - Se n é inteiro e positivo: lim𝑥→+∞ 𝑥 𝑛 = +∞

e

3 – Se n é inteiro e positivo:

+∞ 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 lim𝑥→−∞ 𝑥 𝑛 = {
−∞ 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 lim𝑥→±∞ 1
𝑥𝑛

= 0 ( indica que é válido para +  e para - )

1

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Limite de uma função polinomial para x   
- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 (função polinomial), então: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑎𝑛 𝑥 𝑛

𝑥→±∞

𝑥→±∞

- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 e 𝑔(𝑥) = 𝑏0 𝑥 0 + 𝑏1 𝑥1 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 , então:
𝑓(𝑥) 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑎𝑛 𝑛−𝑚 lim =
=
𝑥
𝑥→±∞ 𝑔(𝑥)
𝑏𝑚 𝑥 𝑚 𝑏𝑚

Limite de uma função Exponencial:
-