regra da cadeia

DERIVADA
Disciplina: Cálculo Instrumental
Professora: Nadjara Paixão

DERIVADA: Regra da Cadeia
Derivada de funções compostas
 Considere duas funções deriváveis 𝑓 e 𝑔 onde
𝑦 = 𝑔(𝑢) e 𝑢 = 𝑓(𝑥).
 Para  𝑥𝑓(𝑥)  𝐷(𝑔), podemos escrever que
𝑦 = 𝑔 𝑢 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]
Ou seja, temos a função composta (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥).
 Exemplo: 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 7)2 pode ser vista como uma função composta onde 𝑢 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 7 .
Assim, 𝑦 = 𝑢2 = 𝑔(𝑢). Logo,
𝑔 𝑓 𝑥

= (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = (𝑥 + 7)2

DERIVADA: Regra da Cadeia
Derivada de funções compostas
 Para derivar funções compostas, utilizamos a
Regra da Cadeia que diz que:
A função composta 𝑔(𝑓 𝑥 ) tem derivada que é dada por:

𝒚 ′ = 𝒈′ 𝒇 𝒙

= 𝒈′ 𝒇(𝒙) . 𝒇′(𝒙)

DERIVADA: Regra da Cadeia
Regra da Cadeia  Regra do “de fora para dentro”

𝒚′ = 𝒈′ 𝒇 𝒙 . 𝒇′ 𝒙

 Às vezes, é mais fácil notar a Regra da Cadeia da seguinte

maneira:
“Derive a função externa (“de fora”) 𝒈 sem derivar a função interna (“de dentro”) 𝒇(𝒙) , ou seja, 𝒇(𝒙) fica intacta.
Depois, multiplique-a pela derivada da função “de dentro”,
𝒇(𝒙)”.
Exemplo: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 )′
𝒚′ = (𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 )′ ∙ (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)′
𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂
𝒊𝒏𝒕𝒂𝒄𝒕𝒂

𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒂
𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂

DERIVADA: Regra da Cadeia
Derivada de funções compostas com potência
 Se 𝑔(𝑥) é uma função derivável e 𝑛 é um número real

não nulo, então:
[(𝑔 𝑥 ) 𝑛 ]′ = 𝑛. [𝑔 𝑥 ] 𝑛−1 . 𝑔′(𝑥)

DERIVADA DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Derivada da Função Exponencial Composta
Se 𝑦 = 𝑢 𝑣 , onde 𝑢 = 𝑢(𝑥) e 𝑣 = 𝑣(𝑥) são funções deriváveis num intervalo I e 𝑢(𝑥) > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, então
𝑦 ′ = 𝑣. 𝑢 𝑣−1 . 𝑢′ + 𝑢 𝑣 . ln 𝑢 . 𝑣′
Exemplo: (resolução em sala de aula)
2𝑥 2 +3𝑥−1 ,
3

𝑦=
𝑢 = 3 e 𝑣 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1
𝑦′ =
Caso Particular:
Se 𝑦 = 𝑒 𝑢 , onde 𝑢 = 𝑢 𝑥 , então 𝑦 ′ = 𝑒 𝑢 . 𝑢′
Exemplo: