Realçoes de Girard

RELAÇÕES DE GIRARD

Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes, conhecidas como RELAÇÕES DE GERARD, constituem uma ferramenta importante na resolução de equações quando conhecemos alguma informação sobre suas raízes.

Para a Equação do 2° Grau:

Sejam r1 e r2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, com a  0.

Pelo teorema da decomposição, sabemos que: ax2 + bx + c  a . ( x – r1) . (x – r2)

Da identidade de polinômios segue que:

Para a Equação do 3° Grau:

Sejam r1 , r2 e r3 as raízes da equação ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a  0.

Pelo teorema da decomposição, sabemos que: ax3 + bx2 + cx + d  a . ( x – r1) . (x – r2) . (x – r3)

Da identidade de polinômios segue que:

Para a Equação de Grau “n”:

Por analogia teremos: soma de n raízes = soma dos produtos das raízes tomada duas a duas = soma dos produtos das raízes tomadas três a três = e assim por diante por último produto das n raízes =

EXERCÍCIOS:

RESPOSTAS NA ORDEM DAS QUESTÕES:

a) 2 b) 1 c) -4 d)

25

S = {1, -2, 3}

S = {3, 5, 7}

a) 4 e 8 b) x2 – 12x + 32 = 0

S = {3+4i, 3-4i, }

a) K = 4 b) 10; 1+ e 1 -



1 ou 3

S = {4, 5, 6}

K = 10 e t = 120

T = -120; S = {2, 6, 10}

108

a) -9 b) S = {, 1, 2}

a = -2 b = 2 c = -2 d = 1

S = {-1, }

APROFUNDAMENTO:

1) Calcular a soma e o produto das raízes da equação: 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6 = 0

Resposta: Soma = Produto = 3

2) Se {r1, r2, r3} é o conjunto-solução da equação 2x3 + 5x2 + 8x + 11 = 0, calcular:

Resposta:

3) Resolver a equação x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.

Resposta: S = {-1, 2, 5}