Questões

Páginas: 19 (4628 palavras) Publicado: 7 de abril de 2013
Exerc´
ıcios resolvidos
´
MODULO 2 - AULA 17

Aula 17 – Exerc´
ıcios resolvidos
Objetivo
Fazer uma revis˜o do primeiro m´dulo, atrav´s da resolu¸ao de exerc´
a
o
e

ıcios
variados.

Pr´-requisito:
e
Aulas 1 a 16.

Nesta aula, damos uma pequena pausa na apresenta¸ao da teoria para

exercitar o conte´ do j´ estudado. Vocˆ tem uma lista de exerc´
u
a
e
ıcios paratentar resolver e conferir com as resolu¸oes, que se encontram ap´s os enunc˜
o
ciados.
A id´ia ´ que vocˆ primeiro tente resolvˆ-los, recorrendo, se necess´rio,
ee
e
e
a
as anota¸oes de aula, e s´ depois de resolver, compare sua solu¸ao com a que
`

o

apresentamos aqui.
Caso haja alguma discordˆncia ou d´ vida, procure o tutor. O objetivo
a
u
principal ´ que vocˆ siga em frente,iniciando o segundo m´dulo bem seguro
e
e
o
do conte´ do estudado no primeiro.
u

Exerc´
ıcios
1. Sendo

A3×2

C2×4 =

=




1 −1


0 ,
2
3
1

2
a −3 2
0 −1
b6


B3×2

=




0
2


4 ,
3
−5 −1

, determine a e b para que a matriz

4 2 −6 4


(2A + B )C seja igual a  14 3 −1 38 .
20
28
2. Dada A =
a) A2
c) det A
e) A−1
g)det A−1

1
2
, calcule:
4 −3
b) AT
d) det AT
f) (AT )−1
h) f (A), onde f (x) = x2 + 2x − 11

3. Classifique em V (verdadeira) ou F (Falsa) cada senten¸a abaixo:
c
a) (A + B )T = AT + B T
181

CEDERJ

Exerc´
ıcios resolvidos

b) (AB )T = AT B T
c) (A + B )−1 = A−1 B −1
d) (AB )−1 = B −1 A−1
e) det A = det AT
f) det A−1 = −det A
g) Se A ∈ Mn (R), α ∈ R, det αA = nαdet A
1
02


4. Determine a ∈ R para que exista a inversa da matriz A =  4
1 a .
2 −1 3
−1
Caso exista, calcule A , para a = 8.


5. (Prov˜o - MEC - 2002)
a
A e B s˜o matrizes reais n × n, sendo n ≥ 2 e α, um n´ mero real.
a
u
A respeito dos determinantes dessas matrizes, ´ correto afirmar que:
e
(a) det (AB ) = det A.det B
(b) det (A + B ) = det A + det B
(c) det (αA) = αdet A(d) det A ≥ 0, se todos os elementos de A forem positivos
(e) se det A = 0 ent˜o A possui duas linhas ou colunas iguais
a




6. Calcule det 


2 −1
2
1
−2
0
1
0

3
3
4
1

0
5
5
3






 por triangulariza¸ao.


7. Classifique e resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas lineares
abaixo:



 x − y + 3z = 2
 2x − y + z = 0
 x+y−z =0


S3 :
S2 :
S1 :
x+y+z =1
x + 2y − z = 0
2x + 4y − z = 0






x − 3y + 5z = 5
3x + y = 0
3x + 2y + 2z = 0

 2x + 3y + az = 3

8. Discuta o sistema linear
, segundo os valores do
x+y−z =1


x + ay + 3z = 2
parˆmetro real a.
a

CEDERJ

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Exerc´
ıcios resolvidos
´
MODULO 2 - AULA 17

9. Determine as condi¸oes sobre a, b e c que tornamcompat´ o sistema

ıvel

 x − 2y + 7z = a

.
x + 2y − 3z = b


2x + 6y − 11z = c

10. Dado um espa¸o vetorial V , mostre que W ⊂ V , n˜o vazio, ´ subespa¸o
c
a
e
c
vetorial de V se, e somente se, au + bv ∈ W, ∀u, v ∈ W, ∀a, b ∈ R.
11. Verifique se os seguintes vetores de R3 s˜o LD ou LI:
a
a) (1, 1, −1), (2, 1, 0) e (−1, 1, 2)
b) (1, 2, 0), (3, 1, 2) e (2, −1, 2)

12.Obtenha um conjunto de geradores do subespa¸o U , de V , em cada
c
caso:
a) V = R2 ; U = {(x, y ) ∈ R2 ; x = 3y }
b) V = R3 ; U = {(x, y, z ) ∈ R3 ; x = 3y }
c) V = R4 ; U = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x = 3y e z − t = 0}
13. Determine o subespa¸o de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 1),
c
v2 = (2, −3, 1) e v3 = (0, 1, 1).
14. Encontre uma base e dˆ a dimens˜o do subespa¸o de M2 (R) gerado por
ea
c
1 −2
32
3 10
u=
,v=
ew=
.
3
1
−1 5
−11 7
15. Dados U = {(x, x, z ); x, z ∈ R} e W = {(x, 0, x); x ∈ R}, suespa¸os de
c
3
R , encontre uma base e determine a dimens˜o dos subespa¸os U ∩ W
a
c
3
e U + W , de R .
16. Determine a sabendo que o vetor v = (1, −2, a, 4) ∈ R4 tem m´dulo
o

igual a 30.
17. Considere os vetores u = (1, −2, 1) e v = (0, −3, 4), de R3 ....
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