Questões vestibular matematica ciencia se aplicações

Páginas: 9 (2056 palavras) Publicado: 21 de maio de 2012
NÚMEROS COMPLEXOS
12 - (UF-RN) Se a e b são números reais tais que o número complexo z = a-bi4-2i tem modulo igual a 1, então:
a) a = 2b
b) a – b = 2
c) a + b = 6
d) a² – b² =12
e) a² – b² = 20
Solução:

Sendo Z = a-bi4-2i e |Z| =1, temos que:
Z= a+bi4-2i . 4+2i4+2i
Z= 4a+2ai-4bi+2b16-8i+8i+4
Z=4a+2b+2ai-4bi20
Z=4a+2b+2a-4bi20
Z=2a+b10+ a-2bi10

Sabendo que omódulo de um complexo é definido por: |Z|²=x²+y², temos que:
12=2a+b2102+a-2b2102
1=4a²+4ab+b²+a²-4ab+4b²100
1=5a²+5b²100
5a2+b2=100
a²+b²=20

14 - (Unificado - RJ) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento π3. Sendo z o conjunto de z, a forma algébrica do complexo z é?
a) 1-i3
b) 3-i
c) 3+i
d) 1+3i
e) 2(3-i)
Solução:

Sendo |Z|=2 e θ=60º e Z=a + bi , temosque:

sin60º=b|Z|
32=b2
b=3
cos60º=a|Z|
a2=12⟹a=1
Assim, podemos escrever Z na forma algébrica Z= 1 +3i, logo seu conjugado será 1 - 3i
18 - (FUVEST-SP Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2+iα+2i é zero, então α é:
a) -4
b) -2
c) 1
d) 2
e) 4
Solução:
2+ia+2i×a-2ia-2i⟹2a-4i+ai+2a2-2ai+2ai+4⟹21+aa2+4+(-4+a)ia²+4 ; Como a questãodiz que a parte imaginaria é zero devemos achar um valor para a de modo que a parte imaginária seja zero e não contrarie a leis matemáticas, ou seja o denominador não pode ser zero assim usamos somente a parte do numerador. Dessa forma:
Im
-4+a=0⟹a=4

19 – (UFF-RJ) Na figura abaixo, os números complexos z1, z2, … , z8 estão sobre os vértices de um octógono regular. Com isso, pode-se afirmarque o produto z8 . z2 . z6 é:
Z8
Z1 = i
Z2
Z5 = -i

Z7 = 1
Z3 = 1
Re
Z6

Z6
Z4

a) Z5 = i
z1
b) z4
c) z5
d) z6
e) z8
Solução:
Analisando a figura, pode-se dizer que o valor do módulo de qualquer um dos números complexos equivale-se ao raio da circunferência que mede 1. Com a informação de que os números estão nos vértices de um octógono regular, temos que adistância entre cada vértice é de 45º, dessa forma podemos determinar o argumento de cada um dos complexos, assim podendo escrevê-los na forma polar.
Z2 =cos3π4+isin3π4; Z6 = cos7π4+isin7π4; Z8 = cosπ4+isinπ4
Temos então que calcular o valor de Z8 . Z2 . Z6, ao qual chamarei de X
X= cos (3π4+7π4+π4)+ i sin(3π4+7π4+π4)
X= cos11π4+ i sin11π4
O ângulo de 11π4 é equivalente ao ângulo de 3π4 ,assim temos que
X=Z2
Sendo que Z2 = z4
23 - (U.F. Uberlândia-MG) Sejam z1 e z2 números complexos que satisfazem a condição z1 = iz2, em que i2 = - 1. Assim, pode-se afirmar que:
a) z1 = z2
b) z1 e z2 são simétricos com relação ao eixo Ox
c) z1 e z2 são simétricos com relação ao eixo Oy
d) z1 e z2 são simétricos com relação à reta y=x
e) z1 e z2 são simétricos com relação à retay=-x
Solução:
Sendo Z1= a +bi, Z2=c+di e z1 = iz2
Temos que:
a + bi = (c- di)i
a +bi = ci + d
a + bi = d + ci
a = d e b = c
Assim, representando no plano Z1 e Z2, temos:
Y = X
Z1

b

a
Z2

a
b

Temos então que Z1 e Z2 são simétricos em relação à reta Y=X, o que irá ocorrer mesmo com a ou b possuindo valores negativos.

30 - (UF-MA) Se n é um número inteiro, tal que (1+i)n =i(1- i)n então,
a) n=6k, k ϵ Z
b) n=2k, k ϵ Z
c) n=2k+1, k ϵ Z
d) n=5k, k ϵ Z
e) n=4k+1, k ϵ Z
Solução:
(1+i)n =i(1-i)n⟹1+i1-i × 1-i1-in=i⟹ [1+2i-11+i-i+1]n=i⟹2i2n=i⟹in=i
Dessa forma quais números elevado a n que são iguais a i, (1,5,9....)isto é 4k+1

32 - (Fuvest-SP) Sendo i a unidade imaginária (i2=-1), pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais(a+i)4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Infinitos
Solução:
(a+i)4⟹[(a+i)2]2⟹a2+2ai-12⟹a4+2a³i-a2+2a3i-4a2-2ai-a2-2ai+1⟹a4+4a3i-6a2-4ai+1⟹a4-6a2+1+4a3i-4ai⟹(a4-6a2+1)4a3-4ai Como queremos saber o valor de a , sabendo que o número complexo é um inteiro devemos igualar a parte imaginária a 0, assim:
4a3-4ai=0 ⟹4aa2-1=0⇒Logo a=0 ou a²-1=0
a²-1 = 0 ⇒ a²=1⇒a=±1...
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