Questões de Matemática

Páginas: 25 (6127 palavras) Publicado: 22 de outubro de 2013
1. (UNIR) O polinômio p(x) = x4 – 1 pode ser fatorado como o produto p(x) = (x – 1).q(x). Sobre q(x), pode-se afirmar que possui:

a) quatro raízes imaginárias b) três raízes reais c) três raízes imaginárias

d) uma raiz imaginária e duas raízes reais e) duas raízes imaginárias e uma raiz real

Solução. Utilizando o dispositivo práticode Briot-Ruffini, temos:

1
1 0 0 0 -1

1 1 1 1 0

O quociente é q(x) = x3 + x2 + x + 1. Pela pesquisa de raízes, vemos que x = -1 é uma das raízes de q(x). Aplicando novamente Briot-Ruffini, temos:

-1
1 1 1 1

1 0 1 0
O novo quociente é q’(x) = x2 + 1 cujas raízes são: x2 = -1 => x = i e x = - i.

Logo as raízes de q(x) são: {-i, i,-1}. Duas imaginárias e uma real.

2. (UNIFESP) Sejam p, q e r as raízes distintas da equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 9

Solução 1. Utilizando as relações de Girard, temos:

.

Solução 2. Pela pesquisa deraízes, para x = 2, (2)3 – 2(2)2 + (2) – 2 = 8 – 8 + 2 – 2 = 0. Logo, 2 é raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

2
1 -2 1 -2

1 0 1 0

O quociente é q(x) = x2 + 1, cujas raízes são: x2 = -1 => x = i e x = -i.
Calculando a soma dos quadrados de todas as raízes, vem: (2)2 + (i)2 + (-i)2 = 4 + (-1) + (-1) = 2.

3. (UNIFEI) O comprimento, a largura e aaltura de um paralelepípedo retângulo são, respectivamente, as raízes da equação x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0. Calcule o volume e a área total desse paralelepípedo.

Solução. Considere as dimensões como p, q e r. Utilizando as relações de Girard, temos:


.



4. A equação x3 – 10x2 + ax + b = 0 tem uma raiz igual a (3 + 2i), sendo a e b são números reais. Encontre as outras raízes.

Solução.Se os coeficiente são reais então (3 + 2i) e (3 – 2i) são raízes. Considerando p a outra raiz e utilizando a soma de raízes, temos:

.


As outras duas raízes além de (3 + 2i) são: (3 – 2i) e 4.

5. O gráfico da função P(x) = 4x4 + 4x3 – 25x2 – x + 6 corta o eixo X em quatro pontos, entre os quais (–3,0) e (2,0). Determine as coordenadas dos outros dois pontos.

Solução. Se o gráficocorta o eixo X em (-3,0) e (2,0), então -3 e 2 são raízes de P(x). Aplicando duas vezes Briot-Ruffini, temos:
-3
4 4 -25 -1 6
2
4 -8 -1 2 0

4 0 -1 0

O quociente é q(x) = 4x2 – 1. Encontrando as raízes, vem:

.

6. Uma das raízes da equação x4 – 3x3 – 3x2 + 9x = 0 é 3. Calcule as outras raízes.

Solução. A equação pode ser expressa como: x(x3– 3x2 – 3x + 9) = 0. Logo, x = 0 é uma raiz. Se x = 3 também é uma raiz, então aplicando Briot-Ruffino, temos:

3
1 -3 -3 9

1 0 -3 0
O quociente é q(x) = x2 – 3. Encontrando as raízes, vem:


.

7. Resolva a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0. 
Solução. As possíveis raízes racionais são: . Com certeza x = 1 não será raiz, pois a soma dos coeficientes não é zero.Testando outras, temos:





Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:


2 1 -6 -3

2 0 -6 0
O quociente é q(x) = 2x2 – 6. Encontrando as raízes, vem:


. As raízes são: .


8. (FCMSC) Sabe-se que a equação 4x3 – 12x2 – x + k = 0, onde k є IR, admite duas raízes opostas. Ache o produto das raízes dessa equação.
Solução. Considerando (p) e (-p) as raízesopostas e utilizando as relações de Girard, temos:

.

9. Encontre o(s) valor(es) de k para que a função y(x) = x3 – 2x2 + 3x – k tenha um zero entre 2 e 3.

Solução. Para que y(x) tenha um zero entre 2 e 3, os sinais de y(2) e y(3) devem ser contrários. Isto é, o produto y(2).y(3) < 0. Resolvendo, temos:

. Logo, (6 – k).(18 – k) < 0.

Esta equação quadrática possui raízes 6 e 18,...
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