Questões de Matemática

1. (UNIR) O polinômio p(x) = x4 – 1 pode ser fatorado como o produto p(x) = (x – 1).q(x). Sobre q(x), pode-se afirmar que possui:

a) quatro raízes imaginárias b) três raízes reais c) três raízes imaginárias

d) uma raiz imaginária e duas raízes reais e) duas raízes imaginárias e uma raiz real Solução. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:

1
1 0 0 0 -1

1 1 1 1 0

O quociente é q(x) = x3 + x2 + x + 1. Pela pesquisa de raízes, vemos que x = -1 é uma das raízes de q(x). Aplicando novamente Briot-Ruffini, temos:

-1
1 1 1 1

1 0 1 0
O novo quociente é q’(x) = x2 + 1 cujas raízes são: x2 = -1 => x = i e x = - i.

Logo as raízes de q(x) são: {-i, i, -1}. Duas imaginárias e uma real.

2. (UNIFESP) Sejam p, q e r as raízes distintas da equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 9

Solução 1. Utilizando as relações de Girard, temos:

.

Solução 2. Pela pesquisa de raízes, para x = 2, (2)3 – 2(2)2 + (2) – 2 = 8 – 8 + 2 – 2 = 0. Logo, 2 é raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

2
1 -2 1 -2

1 0 1 0

O quociente é q(x) = x2 + 1, cujas raízes são: x2 = -1 => x = i e x = -i.
Calculando a soma dos quadrados de todas as raízes, vem: (2)2 + (i)2 + (-i)2 = 4 + (-1) + (-1) = 2.

3. (UNIFEI) O comprimento, a largura e a altura de um paralelepípedo retângulo são, respectivamente, as raízes da equação x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0. Calcule o volume e a área total desse paralelepípedo.

Solução. Considere as dimensões como p, q e r. Utilizando as relações de Girard, temos:

.

4. A equação x3 – 10x2 + ax + b = 0 tem uma raiz igual a (3 + 2i), sendo a e b são números reais. Encontre as outras raízes.

Solução.