Queremos ent o mostrar que Q denso em R

1. Discuta a importância do seguinte fato: o conjunto dos números racionais Q é denso no conjunto dos números reais R.
Queremos então mostrar que Q é denso em R. Precisamente isso quer dizer que o intervalo aberto de números reais contém números racionais. O que faremos a seguir e mostrar que dados os números reais , sempre podemos encontrar um racional m tal que m
Observação: dados reais , tem-se por definição que Portanto,
Seja então a e b números reais tais que . Só existem duas possibilidades: ou . No primeiro caso tem-se , já no segundo caso tem-se ou Analisamos cada possibilidade em separado.
Primeira possibilidade: . é o mesmo que , logo não há nada mais o que fazer (pois zero é racional ).
Segunda possibilidade:
Tome um racional r tal que Defina o conjunto . Seja K o menor elemento de X. Afirmamos que De fato se não pertencesse e uma vez que concluiríamos que o que seria um absurdo.
Observações: um racional r com a propriedade mencionada existe, pois basta por. , onde n satisfaz ·, como N é ilimitado em R, um natural n que satisfaça essa condição existe, e, por conseguinte o racional r existe também. Dizer que “N é ilimitado em R “ significa que dado qualquer, existe um natural maior. X é o conjunto de todos os números inteiros positivos de r, pelo principio da boa ordem temos certeza de que X possui um menor elemento, como e como k é o menor natural que multiplicado por r resulta em um numero maior do que a, a única possibilidade que sobra é
Terceira possibilidade:
Note que tal que
.
Observações: a primeira implicação se justifica pela manipulação das desigualdades ( basta multiplicar tudo por -1), a segunda implicação se justifica pelo resultado demonstrado no segundo caso. A terceira se justifica pela definição de intervalo aberto; a terceira novamente pela manipulação das desigualdades e a quarta de novo, pela definição de intervalo aberto.
2. Discuta sobre a existência de números que não são racionais, chamados de irracionais, que são