quantica

AD1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2011/2
Instituto de Física da UFRJ
Curso de Licenciatura em Física -
1. (2,5 pontos)

∂
Ψ ( x, t ) = ik sen (kx )e −iωt ; Energia:
∂x
2
2
2 2
 ∂
 k
∂
cos(kx )e −iωt .
Ψ ( x, t ) = i Ψ ( x, t ) = ωcos(kx )e −iωt ; Energia cinética: −
2
2m ∂x
2m
∂t

(a) (1,6 pontos) Posição: xΨ ( x, t ) = x cos(kx )e

− i ωt

; Momento linear: − i

(b) (0,9 pontos) Posição: Não; Momento linear: Não; Energia: Sim, com autovalor ω ; Energia cinética: Sim, com autovalor 2k 2
.
2m

2. (2,5 pontos)

p2

(a) (0,5 pontos) E =

+

2m

1
∆p 2 1 mω 2 x 2 =
+ mω 2 ∆x 2
2
2m 2

  


∆p 2 1

. Assim, E =
(b) (1,0 ponto) ∆x∆p = ⇒ ∆x =
+ mω 2 
2
2∆p
2m 2
 2∆p 

2

2∆p mω 2  2 mω =0=
−
⇒ ∆p 2 =
(c) (1,0 ponto)
3
d (∆p ) m 2
4∆p
ω
⇒ E =
2
d E

3. (2,5 pontos)
∞

(a) (0,3 pontos) Impondo-se a condição de normalização,

∫ ψ ( x)

−∞

fase arbitrário).
∞

(b) (0,3 pontos) x =

∫ψ

*

( x) xψ ( x)dx =0 .

−∞

(c) (0,4 pontos) ∆x =

x2 − x
∞

(d) (0,4 pontos) p =

∫ψ

*

−∞

p2

2

=

a

π

(2π

2

6

−3

).

∂ 

( x) − i ψ ( x)dx = 0 .
∂x 


 2π 2
(e) (0,3 pontos) Ec =
.
=
2m 2ma 2
π
2
.
(f) (0,4 pontos) ∆p = p2 − p = a 2

dx = 1 , obtém-se A = 1 a (a menos de um fator de

(g) (0,4 pontos) ∆x∆p =


2π 2 − 3
> .
6
2

4. (2,5 pontos)

 2 d 2ψ d 2ψ
;
Região
II:
= Eψ = V0ψ
= 0.
2m dx 2 dx 2
2mV0
2 A cos kx, x < 0
(b) (0,5 pontos) ψ ( x) = 
, onde k =
.

2 A, x > 0
k 2
(c) (0,5 pontos) jinc =
A = − jref ; m (d) (0,5 pontos) R = 1, T = 0 .

(a) (0,5 pontos) Região I: −

(e) (0,5 pontos)