psicologia

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Algebra Linear – MA327
Segundo semestre de 2006
Lista de exerc´ ıcios 05 – Transforma¸˜es Lineares co 1. Quais das seguintes aplica¸˜es s˜o operadores lineares? co a
(a) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (x − y, x + y, 0)
(b) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (2x − y + z, 0, 0)
(c) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z)
(d) F : R2 → R2 , F (x, y) = (x + y − 1, 2x − y + 2)
(e) F : Pn (R) → Pn (R), F (p(t)) = tp (t)
(f) F : Pn (R) → Pn (R), F (p(t)) = p (t) + t2 p (t)
2. Obtenha a transforma¸˜o linear F : R2 → M2×2 (R) tal que: ca 1 −1
−2 0
F (1, 0) = e F (0, 1) =
.
2
0
1 1
3. Considere a aplica¸˜o R que associa a cada vetor u ∈ R2 o vetor v ∈ R2 , tal que v ´ obtido ca e rotacionando u de um ˆngulo θ no sentido anti-hor´rio. a a
(a) Verifique geometricamente que R ´ definida por e R(x, y) = (x cos θ − y sin θ; x sin θ + y cos θ)
(b) Verifique que R ´ uma transforma¸˜o linear. e ca
4. Existe um operador linear F : R3 → R3 , tal que F (1, 1, 1) = (1, 2, 3), F (1, 2, 3) = (1, 4, 9) e
F (2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justifique sua resposta.
5. Seja T o operador linear do R2 tal que T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (1, 4).
(a) Determine T (2, 4).
(b) Determine (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (2, 3).
(c) Prove que T ´ uma aplica¸˜o bijetora. e ca
6. Seja F : U → V uma transforma¸˜o linear com a seguinte propriedade: se {u1 , u2 , . . . , un } ´ ca e uma base de U , ent˜o {F (u1 ), F (u2 ), . . . , F (un )} ´ LI em V . Prove que F ´ injetora. a e e 7. Para cada uma das transforma¸˜es lineares a seguir determine uma base e a dimens˜o do n´cleo co a u e da imagem:
(a) F : R3 → R, F (x, y, z) = x + y − z.
(b) F : R2 → R2 , F (x, y) = (2x, x + y).
1

(c) F : R3 → R4 , F (x, y, z) = (x − y, x + y + z, 2x, −y + z, −y).
(d) F : P2 (R) → P2 (R); F (p(t)) = t2 p (t).
(e) F : M2 (R) → M2 (R), F (A) = M A + A, onde M =
(f) F : M2 (R) → M2 (R), F (A) = M A + AM , onde M =

1 1
0 1

.

1 1
0 1

.

8. Determine a transforma¸˜o