Prova vga resolvida

Prova – VGA 1) Considere o paralelogramo de vértices A, B, C e D, onde A=(2,1,0), B=(3,1,-1), C=(1,0,-1), D=(0,0,0). Sabendo que o segmento é paralelo ao segmento e que o segmento é paralelo ao segmento : a) Calcule o produto vetorial : R: Fazendo as contas temos que = B – A = (1,0,-1), que = D – A = (2,1,0) e que . b) Determine a área do paralelogramo: R: Como o paralelogramo do enunciado é o paralelogramo gerado pelos vetores e , a sua área é igual ao módulo do produto vetorial entre e . Pelo item anterior, . Logo, a área é igual ao módulo do vetor (1,-2,1), isto é, . c) Calcule a medida das diagonais do paralelogramo. R: Pela descrição do paralelogramo, as diagonais são os segmentos e , cujas medidas podem ser encontradas através dos módulos dos vetores e . O vetor é igual a (-1,-1,-1) e o vetor 1). Logo as diagonais medem: || ||= raiz de 3 e || ||= raiz de 11. =(-3,2,1). é igual a (3,1,-

2) Seja A=(2,2,0), B=(-1,3,4), C=(1,0,1) e

a) Encontre a equação vetorial da reta r que passa por A e B:

R: Como vetor diretor tomemos o vetor que é igual a (-3,1,4) e tomemos o ponto A para escrever a equação. Neste caso, a equação procurada é (x,y,z) = (2,2,0)+t(-3,1,4). b) Determine as equações paramétricas da reta s que passa por C e que é paralela ao vetor : R: x = 1-3t ; y= 2t ; z= 1+t. c) As retas r e s são ortogonais (isto é, formam um ângulo de 90 graus)? Justifique sua resposta. R: Para verificar isto, basta verificar se seus vetores diretores são perpendiculares. Para isto, usaremos o produto interno e os vetores e das letras a) e b): = -3.(-3)+1.2+4.1= 15. Como o produto interno não deu zero, concluímos que os vetores e não são perpendiculares e, consequentemente, as retas não são ortogonais. 3) Considere o plano :2x-y-z+1=0 e o ponto P=(1,0,0). a) Encontre o vetor normal a : R: O vetor normal é o vetor cujas coordenadas são, respectivamente, os coeficientes de x, y e z, da equação acima. Logo, o vetor normal procurado é (2,-1,-1) b) Dê exemplo de um