Prova Pré-Cálculo

AtE2 – 2014 – 2

GABARITO

Pré-Cálculo

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CEDERJ/UAB
AtE2 - Segunda Atividade Eletrônica
GABARITO
Pré-Cálculo

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Tarefa 1
Se possível, encontre o valor de cos 𝜃 em cada item. Se não for possível, JUSTIFIQUE!. Atenção, não está sendo pedido para encontrar o valor de 𝜃.
1
a)
𝜃 é um ângulo do 2º. quadrante e sen 𝜃 = .
5
b)
𝜃 é um ângulo do 4º. quadrante e
5 cos2 𝜃 = 1.
c)
𝜃 é um ângulo do 1º. quadrante e cos 2 𝜃 = 5.
1
d)
𝜃 é um ângulo do 3º. quadrante e cos 2𝜃 = (Nesse caso você vai precisar de uma
9
identidade trigonométrica onde aparecem os termos cos 𝜃 e cos 2𝜃).
RESOLUÇÃO:
a) Sabemos que sen2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1, cos2 𝜃 = 1 − sen2 𝜃 e cos 𝜃 = ±√1 − sen2 𝜃.
1

1

Como foi dado que sen 𝜃 = 5 , temos que cos 𝜃 = ±√1 − 25 = ±

2√6
5

.

Além disso, foi dito que 𝜃 é um ângulo do 2º. Quadrante, logo cos 𝜃 < 0 .
Portanto

cos 𝜃 = −

2√6
.
5

b) Resolvendo a equação,
5 cos2 𝜃 = 1

1

⟺ cos 2 𝜃 = 5 ⟺ cos 𝜃 = ±

1
√5

⟺ cos 𝜃 = ±

√5
.
5

Foi dito que 𝜃 é um ângulo do 4º. Quadrante, logo cos 𝜃 > 0 .
Portanto

cos 𝜃 =

√5
.
5

c) Resolvendo a equação, cos2 𝜃 = 5

⟺ cos 𝜃 = ±√5

Seria cos 𝜃 = √5 > 1 ou cos 𝜃 = −√5 < −1. Impossível porque sabemos que −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1.
Uma maneira de resolver, usando a identidade cos2 𝜃 =

1+cos 2𝜃
,
2

cos 𝜃 = ±√

1+
2

1
9

10
2∙9

=√

=±

√5
.
3

Outra maneira de resolver, usando a identidade, cos 2𝜃 = cos2 𝜃 − sen2 𝜃. Desenvolvendo essa identidade para obter uma relação apenas entre cos 2𝜃 e cos 𝜃, cos 2𝜃 = cos 2 𝜃 − sen2 𝜃 = cos2 𝜃 − (1 − cos 2 𝜃) = 2cos2 𝜃 − 1.
Logo, 1 + cos 2𝜃 = 2 cos 2 𝜃

⟺

cos2 𝜃 =

1+cos 2𝜃
.
2

Como essa é a mesma identidade da
1

1+
√5
primeira maneira de resolver, também obtemos cos 𝜃 = ±√ 9 = ± .
2

3

Além disso, foi dito que 𝜃 é um ângulo