Prova do colégio naval

Gabarito CN




1) Sejam P  1 

Qual é o resto de
(A)
(B) 2

P
?
Q

2

(C)
(D) 3
(E) 5

1  1  1  1 
1
1
 1  1  1 
1  1  1  1   e Q  1  1  1  1   .
3  5  7  9  11 
 5  7  9  11 

5

GABARITO: B
Solução:

1  4 6 8 10 12
 1  1  1  1 
P  1  1  1  1  1       
 3  5  7  9  11  3 5 7 9 11
1  4 6 8 10
 1  1  1 
Q  1  1  1  1      
 5  7  9  11  5 7 9 11
Daí,

P 12
P

4
 2.
Q 3
Q

2) Sabendo que ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC = a, qual é o valor máximo da área de
ABC?
(A)

a2 2
4

(B)

a2
4

(C)

3a 2 2
4

3a 2
4
3a 2
(E)
4
(D)

GABARITO: B
1ª Solução:

ABC está inscrito num círculo de diâmetro BC  a (raio a/2).
Como a base BC é fixa, para a área ser máxima, a altura de A deve ser máxima. Isso ocorre quando:

h A  raio 
2ª Solução:

2 aa a
2a
. Logo S ABC 
2
4
2

Gabarito CN

S

1 bc e b 2  c 2  a 2 .
2

b  c 

2

a2 a2 (atingida para b = c)
 0  b  c  2bc  a  4S  S 
 S MÁX 
4
4
2

2

2

3) Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferentes e um outro conjunto com 6 meninas também com idades diferentes. Sabe-se que, em ambos os conjuntos, as idades variam de 1 a até 6 anos.
Quantos casais podem-se formar com a soma das idades inferior a 8 anos?
(A) 18
(B) 19
(C) 20
(D) 21
(E) 22
GABARITO: D
Solução:
- A menina de um ano pode formar casal com todos os meninos;
- A de dois anos, com os meninos de 1 até 5 anos;
- A de três anos, com os meninos de 1 até 4 anos; e assim sucessivamente.
Logo o total de casais possíveis é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
4) Seja

A
A
A  B  3,5,8,9,10,12 e B  CE   ,12 onde A e B são subconjuntos de E, e C E é o
10

complementar de A em relação a E. Sendo assim, pode-se afirmar que o número máximo de elementos de
B é:
(A)