Prova Cálculo 1 Respondida

Páginas: 2 (432 palavras) Publicado: 2 de junho de 2014
RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1

1. (2,0)
(a) Para a função ser definida devemos ter 4 − z 2 > 0, ou seja,
−2 < z < 2. Daí,
D(f) = (−2, 2).


Agora, observe que se z = 0 então 4 − z 2 = 4 − 4 = 0,1
ou seja, g(0) = . Para qualquer outro número entre −2 e 2,
2

4 − z 2 terá como resultado um número positivo menor do que
1
1
2, isto é, √
> . Logo,
2
4 − z2
Imf =

1
,∞ .
2

(b)Pela regra que define a função observamos que a mesma está
definida para todos os valores reais. Logo
Df = R.
Agora, para x ≤ 1, todos os valores reais não negativos são
assumidos, pois f(x) = x 2. Como para x > 1 a função é f(x) =
3x − 1
resulta também em um número positivo, concluimos que
x −1
Imf = [0, ∞).
2. (2,0)
(a) Como y = f(x) = x 2 + 1, x ≥ 0, é injetiva podemos determinar
suainversa. Trocando as posições de y e x, obtemos x = y2 + 1,
ou seja, y2 = x − 1, donde

y = f −1 (x) = x − 1, x ≥ 0.
(b) Temos,
(f ◦ f

−1


)(x) = f(f (x)) = f( x − 1)

= ( x − 1)2 +1 = x − 1 + 1
= x
−1

e
(f −1 ◦ f)(x) = f −1 (f(x)) = f −1 (x 2 + 1)

2 + 1) − 1 =
=
(x
x2
= x
Portanto, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f)(x).
3. (3,0)
(a)

lim

x→2



3x − 2 − 23x − 2 + 2
·√
2x − 4
3x − 2 + 2
3x − 2 − 4

lim
x→2 (2x − 4)( 3x − 2 + 2)
3x − 6

lim
x→2 (2x − 4)( 3x − 2 + 2)
3(x − 2)

2(x − 2)( 3x − 2 + 2)
3
1
lim √
2 x→2 ( 3x − 2 + 2)
33 1
1
3
= · = .
·√
2
2 4
8
3·2−2+2

3x − 2 − 2
= lim
x→2
2x − 4
=
=
=
=
=

(b)
sen3x − 5x
sen3x
5x
= lim
− lim
x→0
x→0 3x
x→0 3x
3x
2
5
= 1− =− .
3
3
lim

(c)Sabendo que as raízes de 3x 2 − 12 são ±2 e as raízes de
2x 2 + 3x − 2 são −2 e 1/2, temos
3(x + 2)(x − 2)
x→−2 2(x + 2)(x − 1/2)
3(x − 2)
3
x −2
= lim
= lim
x→−2 2(x − 1/2)
2 x→−2 x − 1/2
3(−2 − 2)
3 (−4)
12
=
·
= ·
= .
2 (−2 − 1/2)
2 (−5/2)
5

3x 2 − 12
=
x→−2 2x 2 + 3x − 2
lim

lim

4. (1,0) Note que
1
1/x 2
lim
= lim
= 0.
x→±∞ x 2 − 4
x→±∞ 1 − 4/x 2
3...
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