Prova 2 3858 Gabarito

Universidade de Caxias do Sul - Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia
MAT0357AC: Cálculo Diferencial e Integral I – Professora: Mauren Turra Pize
Horário: 38 - 58 - Período Letivo: 2014-4 – Data: 21 / 10 / 14

Segunda Prova Parcial (peso 10) - GABARITO
Questão 1. 5 pontos Calcule

dy
. Apresente a resposta na forma mais simplificada. dx a) y = tan4x 3 + x
VER EXEMPLO 2 - P. 210 DO ANTON: dy = 12x 2 + 1 sec 2 4x 3 + x dx b) y = x 3 + cossecx
VER EXEMPLO 5 (c) - P. 212 DO ANTON:
3x 2 − cossec x cotg x dy = dx 2 x 3 + cossec x

1
2x + sin 3 x
EXERCÍCIO 30 (d) - P. 233 DO ANTON:
−1
1
= 2x + sin 3 x y= 2x + sin 3 x dy −2
′
= −12x + sin 3 x ⋅ 2x + sin 3 x dx dy
−2
= −12x + sin 3 x ⋅ 2 + 3 sin 2 x ⋅ sin x ′ dx dy
−2
= −12x + sin 3 x ⋅ 2 + 3 sin 2 x ⋅ cos x dx 2 dy = − 2 + 3 sin x cos2 x dx 2x + sin 3 x

c) y =

d) y = sin x + 2 cos 3 x
EXERCÍCIO 30 (a) - P. 233 DO ANTON: dy = cos x + 2 ⋅ 3 cos 2 x ⋅ cos x ′ dx dy
= cos x + 2 ⋅ 3 cos 2 x ⋅ − sin x dx dy
= cos x − 6 cos 2 x sin x dx e) y = cos 3 sin 3x
ADAPTADO DO EXERCÍCIO 33 - P. 214 DO ANTON: dy = 3 cos 2 sin 3x ⋅ cossin 3x ′ dx dy
= 3 cos 2 sin 3x ⋅ − sinsin 3x ⋅ sin 3x ′ dx 1

dy
= 3 cos 2 sin 3x ⋅ − sinsin 3x ⋅ cos 3x ⋅ 3x ′ dx dy
= 3 cos 2 sin 3x ⋅ − sinsin 3x ⋅ cos 3x ⋅ 3 dx dy
= −9 cos 3x sinsin 3x cos 2 sin 3x dx Questão 2. 3 pontos Seja fθ = sec θ a função cujo gráfico é dado a seguir:

y

5
4
3
2
1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

5

x

-2
-3
-4
-5

a) Calcule a derivada f ′ θ. f ′ θ = sec θ tan θ
b) Determine a equação da reta tangente a fθ no ponto θ = π .
6
π y− 2 = 2 x− π x0 =
6
3
6
3
1
y 0 = sec π =
= 2 y− 2 = 2x− π
6
3
9
π
3
3 cos 6
3
m tan = f ′ π = sec π tan π = 2 ⋅
= 2 y = 2x− π + 2
6
6
6
3
3
9
3
3
3
c) No gráfico dado, construa o gráfico da reta tangente obtida em b).
Questão 3. 2 pontos

2

Um trem viaja a 100 mi/h (milhas por hora) para o oeste em direção a Denver, enquanto um segundo trem viaja a 80 mi/h para o norte a