Propriedades determinantes

Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:

P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplo:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. (As chamadas matrizes triangulares) Exemplos:

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P12)
Exemplo: