Propriedades da integral
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SANTARÉM
FACULDADE DE MATEMÁTICA
CÁLCULO II — PROPRIEDADES DA INTEGRAL
SANTARÉM - PA
2009
PRORIEDADES DA INTEGRAL
Teorema.Sejam ݂, ݃ integráveis em [ܽ, ܾ ] e ݇ uma constante. Então
a) ݂ + ݃ é integrável em [ܽ, ܾ ] e ሾ݂ሺݔሻ + ݃ሺݔሻሿ ݀ = ݔ ݂ሺݔሻ݀ + ݔ ݃ሺݔሻ ݀.ݔ
b) ݂݇ é integrável em [ܽ, ܾ ] e ݂݇ሺݔሻ݀ ݇ = ݔ ݂ሺݔሻ ݀.ݔ
c) Se ݂ሺݔሻ ≥ 0 em [ܽ, ܾ ], então ݂ሺݔሻ ݀.0 ≥ ݔ
d) Se ܿ ∈ ሿܽ, ܾሾ e ݂ é integrável em [ܽ, ܾ ] e em [ܿ, ܾ ] então
න ݂ሺݔሻ ݀ = ݔන ݂ሺݔሻ݀ + ݔන ݂ሺݔሻ ݀.ݔ
Demonstração
a) Provaremos que para toda partição P de [ܽ, ܾ ] e para todo ܿ݅ ∈ ሾ ݔିଵ , ݔ ሿ teremos que
ୀଵ
ୀଵ
lim ሺ݂ + ݃ሻሺܿ ሻ ∆ = ݅ݔlim ൭ ݂ሺܿ ሻ∆ + ݅ݔ ݃ሺܿ ሻ∆ ݅ݔ൱ =
|∆௫|⟶బ
|∆௫|⟶బ
ୀଵ
= lim ݂ሺܿ ሻ∆ + ݅ݔlim ݃ሺܿ ሻ∆= ݅ݔ
|∆௫|⟶బ
|∆௫|⟶బ
ୀଵ
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න ݂ሺݔሻ݀ + ݔන ݃ሺݔሻ ݀,ݔ
pois ݂ + ݃ são integráveis em [ܽ, ܾ ].
b) Idem a),
lim ሺ݂݇ሻሺܿ ሻ ∆= ݅ݔ
|∆௫|⟶బ
ୀଵ
= lim ൭ ݂݇ሺܿ ሻ∆ ݅ݔ൱ = ݇ lim ൭ ݂ሺܿ ሻ∆ ݅ݔ൱ =
|∆௫|⟶బ
∎
݇ ݂ሺݔሻ݀ , ݔpois ݂ é integrável em [ܽ, ܾ ]; logo:
ୀଵ
|∆௫|⟶బ
ୀଵ
න ሺ݂݇ሺݔሻ݀ ݇ = ݔන ݂ሺݔሻ ݀ ∎ .ݔ
c) Se ℎ = ݂; então, ݂ሺݔሻ ݀ .0 ≥ ݔPara toda partição P de [ܽ, ܾ] e para todo ܿ݅ ∈
ሾ ݔିଵ , ݔ ሿ, temos que ℎ(ܿ݅) ≥ 0 ;logo,
ℎሺܿ ሻ∆݁ 0 ≥ ݅ݔ
ୀଵ
න ℎሺݔሻ ݀ = ݔlim ℎሺܿ ሻ∆, 0 ≥ ݅ݔ
|∆௫|⟶బ
ୀଵ
Logo: ݂ሺݔሻ ݀ ∎ 0 ≥ ݔ
d) Para toda partição P de [ܽ, ܾ] tal que ܿ = ݔ para algum ݅; então [ܽ, ܿ] é subdividido em ݎsubintervalos e [ܿ, ܾ] em ݊ − ݎsubintervalos; logo;
ି
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ୀଵ
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݂ሺܿ ሻ∆ = ݅ݔ ݂ሺܿ ሻ∆ + ݅ݔ