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M´ximos e m´ a ınimos (2a parte) – Multiplicadores de Lagrange

´ MODULO 1 – AULA 17

Aula 17 – M´ximos e m´ a ınimos (2a parte) – Multiplicadores de Lagrange

Ao pedir um conselho, estamos, na maioria das vezes, buscando um c´ mplice. u Lagrange

Objetivo
• Usar os multiplicadores de Lagrange para calcular m´ximos e m´ a ınimos.

Introdu¸˜o ca
Na aula anterior, vocˆ aprendeu a localizar os pontos cr´ e ıticos de uma fun¸˜o f (x, y), al´m de uma maneira de caracteriz´-los como m´ximos ou ca e a a m´ ınimos locais, ou eventuais pontos de sela de f . Portanto, est´vamos interessados em fazer uma an´lise local dos pontos a a cr´ ıticos. Nesta aula, nosso objetivo ´ encontrar os pontos de m´ximo e de e a m´ ınimo (absolutos) de uma fun¸˜o f num dado conjunto A ⊂ Dom(f ). Ou ca a seja, estaremos considerando um problema de car´ter global. Por exemplo, suponha que T (x, y) descreve a temperatura de uma chapa de metal, localizada em A = {(x, y) ∈ lR 2 ; 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. Para determinar os pontos da chapa onde ocorrem as temperaturas extremas, temos de fazer uma an´lise global do comportamento de T em A. a Quando consideramos um problema dessa natureza, a primeira preocupa¸˜o ´ saber se o problema tem solu¸˜o. ca e ca Veja, antes de lan¸armo-nos na busca de alguma coisa, seria interessante c saber se tal coisa existe. A falta dessa informa¸˜o n˜o impede a busca (como ca a diria Crist´v˜o Colombo) mas, se sabemos que o objeto da busca existe, o a poder´ ıamos tra¸ar estrat´gias de encontr´-lo, levando isso em conta. c e a O resultado matem´tico que nos auxilia com essa quest˜o ´ um a a e teorema da mais alta estirpe, que vocˆ j´ conhece do C´lculo I, o Teorema e a a de Weierstrass.
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M´ximos e m´ a ınimos (2a parte) – Multiplicadores de Lagrange

Teorema de Weierstrass ca ınua, definida no aberto D de Seja f : D ⊂ lR n −→ lR uma fun¸˜o cont´ n a a lR . Seja A ⊂ D um conjunto compacto. Ent˜o, f admite ponto de m´ximo e ponto de m´ ınimo em A.