PROJETO INTEGRADOR

Páginas: 9 (2193 palavras) Publicado: 12 de junho de 2015

.
§ 1 – REGRAS DE DERIVAÇÃO
O Cálculo Diferencial sistematiza regras operacionais simples.
As REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO são:

CONSTANTE PELA FUNÇÃO: ( k u )´= k u´
SOMA: ( u + v )´ = u´ + v´
PRODUTO: (u v )´=u´v + v´u
( u v w )´ = u´v w + v´u w + w´u v
QUOCIENTE: =

Um importante princípio é a Regra da Cadeia ou Regra da Derivada da Função Composta. Ela diz:
Sey é umafunção diferenciável de u e u é uma função diferenciável de x, então= . ouy´= f´( u ) . u´
Considerando u, v funções deriváveis de x, k∈ℝ e n∈ℚ, a DERIVADA DAS PINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES são:

NOTAÇÃO LEIBNIZ
NOTAÇÃO LAGRANGE
NOTAÇÃO LEIBNIZ
NOTAÇÃOLAGRANGE


0
( K )´ = 0


.


( )´ = . u´


. ; .

. ( .

cos u.
( sen u )´= cos u. u´
− sen u.
( cos u )´= − sen u. u´

;;



Se as variáveis x e y estão implicitamente relacionadas, ou seja, descritas na forma G(x,y) = 0, a derivada é dada através da DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA.
É o caso, por exemplo, das equações abaixo, onde y = f ( x ):
( 1 )
Derivando ambos os membros pela regra da cadeia:
(2x + 2y = 0.
Como = x´= 1, segue-se 2x + 2yy`= 0 ⟹ y´= − ou yy´+ x = 0
( 2 )
Derivando ambos os membros pela regra dacadeia:
(⟹

+3 + 2y + 2xy´ - 3y´ + 4 = 0
⇒y´( - + 2x – 3 ) =−
⇒ y´ = −.
Agora, em muitas aplicações as grandezas x e y são quantidades relacionadas de modo a satisfazer certa equação.
É o caso, por exemplo, da equação supondo que as variáveis x e y dependem, digamos do tempo t, segundo as equações e
Desde que x e y são diferenciáveis em relação a t,
=f´( t ) e =g´( t )fornecem a taxa de variação instantânea de e de por unidade de tempo.
Como x e y estão relacionadas pela equação , as taxas de variação e também estão relacionadas.
Para determinar este relacionamento diferenciamos implicitamente ambos os membros de em relação a t:
(+ (=(4)⇒ 2x + 2y = 0 ⇒ = 0.

A técnica utilizada para determinar a relação entre taxas de variação é denominadaTAXASRELACIONADAS.
EXEMPLO 1A taxa de variação instantânea da área de um disco em relação ao raio é determinada como = (π=
( 1 ) Digamos que a área de um disco cresça a uma taxa constante de 5 /min. Ou seja, = 5 /min.
Portanto a cada minuto a área sofre uma expansão de 5
( 2 ) Ora, a área é uma função do raio, A ( r ) = π, e o raio, por sua vez, esta variando com o tempo, r = f ( t ).
Pela regra da cadeia,a taxa de variação da área A do disco em relação ao tempo é dada por= .
( 3 )Portanto =(π. =2π r .
( 4 ) Como = 5 /s, segue-se que 5 = 2π r⟹.
( 5 ) Se r = 18 cm, então =≅ 0,4423213 cm/min.

EXEMPLO 2

( 1 ) Uma esfera de metal dilata-se uniformemente ao ser aquecida.
( 2 ) O volume V de uma esfera, dado por V = π depende da variação do seu raio r.
( 3 ) Portanto V é uma função de r ou V= V ( r ).
AssimV ( r ) = π.
( 4 ) A taxa de dilatação da esfera com o raio é = 4 π.
( 5 ) Digamos que o raio r da esfera varia com o tempo t: r = r ( t ).
( 6 ) Seja = 2 cm / min.
Ou seja, a taxa de variação do raio r é constante e igual a 2 cm / min.
( 7 ) A taxa de variação do volume V da esfera com o tempo t é dado pela Regra da Cadeia: =.
( 8 ) Portanto =4π.2 = 8 π / min.
( 9 )Noinstante t = 3 min, por exemplo, a taxa de variação do volume V é:
t = 3 = 8 π / min = 72 π / min.



Dados e num intervalo aberto I, uma função definida em I é CRESCENTE em I, f , se e só se, x> f ( x ) > f ().
f é DECRESCENTE em I, f , se e só se, x> f ( x ) < f ().
Entretanto, um eficiente critério de estudo é dado pela proposição:




Para demonstrar que sey = f ( x ) écrescente em I, então f´( x ) > 0, observe que, se x≠ e > f () temos:
( 1 ) x >x−> 0 e f ( x ) > f ()  f ( x ) − f () > 0,
( 2 ) Assim o quociente > 0;
( 3 ) Como f´( x ) = , segue-se f `( x ) > 0.

EXEMPLO 3Intervalos onde f ( x ) = x² − 3x + 2 é crescente ou decrescente.
RESOLUÇÃO:
( 1 ) f ( x ) = x² − 3x + 2f ´( x ) = 2x – 3;
( 2 ) Estudo do Sinal de f´( x ) = 2x – 3:
a f ´( x ) = 0 ...
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