PROJETO INTEGRADOR

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§ 1 – REGRAS DE DERIVAÇÃO
O Cálculo Diferencial sistematiza regras operacionais simples. As REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO são:

CONSTANTE PELA FUNÇÃO: ( k u )´= k u´
SOMA: ( u + v )´ = u´ + v´
PRODUTO: (u v )´=u´v + v´u
( u v w )´ = u´v w + v´u w + w´u v
QUOCIENTE: =

Um importante princípio é a Regra da Cadeia ou Regra da Derivada da Função Composta. Ela diz:
Sey é uma função diferenciável de u e u é uma função diferenciável de x, então= . ouy´= f´( u ) . u´ Considerando u, v funções deriváveis de x, k∈ℝ e n∈ℚ, a DERIVADA DAS PINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES são:

NOTAÇÃO LEIBNIZ
NOTAÇÃO LAGRANGE
NOTAÇÃO LEIBNIZ
NOTAÇÃOLAGRANGE

0
( K )´ = 0

.

( )´ = . u´

. ; .

. ( .

cos u.
( sen u )´= cos u. u´
− sen u.
( cos u )´= − sen u. u´

; ;

Se as variáveis x e y estão implicitamente relacionadas, ou seja, descritas na forma G(x,y) = 0, a derivada é dada através da DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA. É o caso, por exemplo, das equações abaixo, onde y = f ( x ):
( 1 )
Derivando ambos os membros pela regra da cadeia:
(2x + 2y = 0.
Como = x´= 1, segue-se 2x + 2yy`= 0 ⟹ y´= − ou yy´+ x = 0
( 2 )
Derivando ambos os membros pela regra da cadeia:
(⟹
⟹
+3 + 2y + 2xy´ - 3y´ + 4 = 0
⇒y´( - + 2x – 3 ) =−
⇒ y´ = −.
Agora, em muitas aplicações as grandezas x e y são quantidades relacionadas de modo a satisfazer certa equação.
É o caso, por exemplo, da equação supondo que as variáveis x e y dependem, digamos do tempo t, segundo as equações e
Desde que x e y são diferenciáveis em relação a t,
=f´( t ) e =g´( t ) fornecem a taxa de variação instantânea de e de por unidade de tempo.
Como x e y estão relacionadas pela equação , as taxas de variação e também estão relacionadas.
Para determinar este relacionamento diferenciamos implicitamente ambos os membros de em relação a t: (+ (=(4)⇒ 2x + 2y = 0 ⇒ = 0.

A técnica utilizada para determinar a relação entre taxas de variação é denominadaTAXAS