Progressão Aritmetica

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a_n, pode ser obtido por meio da formula1 a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r, em que: a_1 é o primeiro termo; r é a razão.
Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética.[carece de fontes]
Demonstração[editar | editar código-fonte]
A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:
Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a_2 = a_1 + 1 \cdot r;
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n-1, ou seja, que a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r, resulta que o n-ésimo termo é dado por: a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.
De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n: a_n = a_m + (n - m) \cdot r
Soma dos termos de uma progressão aritmética[editar | editar código-fonte]

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles
A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula:
S_{(p,q)}=\frac{(q - p + 1) \cdot (a_p + a_q)}{2}.
Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:
S_n=\frac{n \cdot \left(a_1 + a_n\right)}{2}.
Demostrações:[editar | editar código-fonte]
Considerando a PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n), a soma S_n de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n
S_n = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1
Somando membro a membro, obtemos:
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_{n-1} + a_2) + (a_n