progressao geometrica

Páginas: 3 (528 palavras) Publicado: 2 de dezembro de 2013
Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.1 A razãoé indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
• em que 1
• em que
• em que
• em que
• em que
Índice
[esconder]• 1 Definição por recursão e fórmula do termo geral
• 2 Soma dos termos de uma P.G.
o 2.1 Demonstração
• 3 Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.
• 4 Soma dos infinitos termos de umaprogressão geométrica
• 5 Produto dos termos de uma progressão geométrica
• 6 Ver também
• 7 Referências
Definição por recursão e fórmula do termo geral[editar]
Costuma-se denotar por o n-ésimo termode uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:


É fácil demonstrarpor indução matemática que

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero ( ). Neste caso, otermo geral torna-se

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

Soma dos termos de uma P.G.[editar]
A soma dos termos de uma P.G., a partir doprimeiro, é definida por

Caso a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Demonstração[editar]
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

Multiplica-se pela razão

Subtrai-sea primeira da segunda, cancelando-se os termos repetidos:

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

Divide-se ambos os termos por e o resultado segue.
Soma dos termosdentro de um intervalo da P.G.[editar]
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:

Soma dos infinitos termos de uma...
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