progressão geometrica

Páginas: 9 (2178 palavras) Publicado: 26 de novembro de 2014
 GABARITO DA LISTA DA PROFESSORA MARIA HELENA
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
1) Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:
a) (1, 2, 4, ...)
b)

c) (–3, 18, –108, ...)

Solução.

a) Calculando q = 2 ÷ 1 = 4 ÷ 2 = 2. O termo seguinte será: 4 x 2 = 8.
b) Calculando q = O termos seguinte será: 15 x 3 = 45.
c) Calculando q = O termoseguinte será:

d) Calculando q = 18 ÷ - 3= - 108 ÷ 18 = - 6. O termo seguinte será: - 108 x - 6 = 648.

2) Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a1 = 3 e q = 2.

Solução. Para encontrar os termos basta multiplicar cada um termo pela razão. Logo temos:
a1 = 3
a2 = 3 x 2 = 6
a3 = 3 x 2 = 12
a4 = 3 x 2 = 24

3) Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos consecutivos de uma P.G.,calcule x de modo que eles sejam positivos.
Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos:. Multiplicando os termos, (2x + 4)2 = (x - 4).(10x - 4). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º, temos a equação: 4x2 + 16x + 16 = 10x2 - 4x – 40x + 16. Eliminando os simétricos e simplificando, vem: - 6x2 – 60x = 0 dividindo por (-6) e colocando “x” em evidência, temos: x (x– 10) = 0.
Logo x = 0 ou x = 10. Se x = 0, o termo x – 4 será negativo. O problema pede termos positivos. Logo x = 10.

4) Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. crescente, determine x.

Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos:. Multiplicando os termos, (x + 2)2 = (x - 1).(3x). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º, temos a equação:x2 + 4x + 4 = 3x2 - 3x. Simplificando, vem: 2x2 – 7x - 4 = 0. Resolvendo a equação, temos x = 4 ou x = - 0,5.
i) Para x = - 0,5 temos a PG = -1,5 ; 1.5 ; -1,5 que não é crescente.
ii) Para x = 4 temos a PG = = 3 ; 6 ; 12 que é crescente. Logo a resposta é x = 4.
5) A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule essesnúmeros.

Solução. Sejam os termos: x , x.q , x.q2. Temos pela informação do problema que a soma dos termos x + xq + x.q2 = 21 e o produto (x. xq . xq2) = 216. Logo x3q3 = 216 ou (xq)3 = 216. Calculando a raiz cúbica, temos que xq = 6. Como x não é zero, pois o produto dos termos seria zero também, podemos escrever: q = 6/x.
Substituindo na expressão da soma, temos: . Multiplicando a equaçãopor x, temos: x2 + 6x + 36 = 21x ou x2 – 15x + 36 = 0. Fatorando, temos: (x – 12).(x – 3) = 0.
i) Para x = 12 temos q = 6/12 = 1/2. Nesse caso a razão não é um número inteiro.
ii) Para x = 3 temos q = 6/3 = 2. Nesse caso a razão é um número inteiro. Os termos da PG são: 3, 6, 12. A soma (3 + 6 + 12) = 21 e o produto (3 x 6 x 12) = 216.
6) Classifique em crescente, decrescente ou oscilante asprogressões geométricas:
a)
b)
c) (2, –4, 8, –16)

Solução.

a) Calculando q = 100 ÷ 1000 = 10 ÷ 100 = 1/10. Como q < 1 PG decrescente.

b) Calculando q = (1/4) ÷ (1/16) = (1) ÷ (1/4) = 4. Como q > 1 PG crescente.

c) Calculando q = (-4) ÷ (2) = (8) ÷ (- 4) = - 2. Como q < 0 PG oscilante.

7) Numa P.G. tem-se a1 = 3 e a8 = 384. Calcule:
a) A razão;
b) O terceiro termo.

Solução.a) Utilizando a expressão do termo geral com 8 termos, temos: a8 = a1q7. Logo 384 = 3.q7. Implicando em q7 = 384/3 ou q7 = 128. Logo q é raiz sétima de 128 = 27. Logo q = 2.

b) O termo a3 = a1.q2 = 3.22 = 3 x 4 = 12.

8) O primeiro termo de uma P.G. é 5, a razão é e o último termo é 80. Calcule:
a) Quantos termos têm essa P.G.;
b) O seu quinto termo.

Solução.

a) Utilizando aexpressão do termo geral com n termos, temos: an = a1qn-1.
Logo 80 = 5.()n-1. Implicando em 80 = 5.()n ou ()n = 16. Expressando a raiz como potência fracionária, temos (2)n/2 = 16 = 24. Igualando os expoentes já que a base 2 é a mesma, temos: n/2 = 4 ou n = 8.

b) O termo a5 = a1.q4 = 5.()4 = 5.4 = 20.

9) Considere esta seqüência de figuras.


Na figura 1, há 1 triângulo.
Na figura 2, o...
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