Progressão Aritmética

Páginas: 3 (553 palavras) Publicado: 12 de agosto de 2014
Progressão Aritmética (P.A.)

A progressão aritmética é uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, ou seja, uma sequência numérica em que cadatermo, a partir do segundo, é igual á soma do termo anterior com uma constante r. O r é um número chamado razão.
Exemplos de progressões aritmética (P.A.):
1, 7, 13, 19, 25, ..., é uma P.A. em que r =6
-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2
5, 5, 5, 5, 5,.., é uma P.A. em que r = 0
Após o segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, istoé, 

Fórmula do termo geral de uma P.A.
Pode-se obter o n-ésimo de um termo de uma progressão aritmética apartir da formula:

 é o primeiro termo;
 é a razão.
Por meio da formula acima tambémé possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado deinterpolação aritmética

Demonstração
A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:
Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais umaconstante fixa r e portanto 
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para    ou seja, que   resulta que o n-ésimo termo é dado por:

De forma análoga, demonstra-se aseguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:


Soma dos termos de uma progressão aritmética
A soma dos termos de uma progressãoaritmética situados no intervalo fechado de  até  é calculada pela seguinte fórmula:

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmulaanterior:



Demonstrações
Considerando a PA  a soma  de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:


Somando membro a membro, obtemos:


Todos os pares entre...
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