Progressão Aritmética e Progresão Geométrica

Páginas: 12 (2941 palavras) Publicado: 7 de outubro de 2014
E. E. Professor Ataliba de Oliveira






Progressão Aritmética e Progressão Geométrica




Trabalho solicitado pelo ___________________,
para suprir dependência na matéria de
Matemática do 1º ano do Ensino Médio.


Nome: _________________________________________
Nº __________. ______º ano _____

São Paulo
2014
Progressão Aritmética

Progressão Aritmética é umasucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante.

Representação de uma P.A.
Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:
P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).
A representação acima se refere a uma P.A.finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:
P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).


Terminologia
P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )
Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.
Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a4 se refere ao quarto termo desta P.A., que no casoé igual a 11, já o primeiro termo, a1, nesta P.A. é igual a 5.
Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.
Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é representado pela letra r.Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual aan - 1 e que o seu consequente é igual a an + 1.
Desta forma podemos dizer que r = an + 1 - an, ou ainda r = an - an - 1.
Veja os seguintes exemplos: r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2.
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seuantecedente e o seu consequente:



Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.
Exemplos:
P.A. ( 0, 0, 0, ... )
P.A. ( 3, 3, ..., 3 )
P.A. ( 7, 7, 7 )
Note que em todas as progressões acima r = 0.


Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética é crescentequando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.
Exemplos:
P.A. ( 1, 2, 3, ... )
P.A. ( 15, 21, 27, ... )
P.A. ( -16, -12, -8 )
Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ouem outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.
Exemplos:
P.A. ( 31, 29, 27, ... )
P.A. ( 75, 68, 61, ... )
P.A. ( 9, 0, -9 )
Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r.Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, mais a razão r:

O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:

Mas vimos que a2 = a1 + r, substituindo-o na expressão temos:

O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 + 2r, temos:

Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:

Osexto termo será:

Resumidamente temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:

Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?
Vejamos:
         
Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao...
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