Programação para engenharia

Métodos Numéricos

Integração Numérica

Integração Numérica


Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. 2

Integração Numérica


b

Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b].
Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular

 f ( x)dx a 3

Integração Numérica




Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] 
Métodos Numéricos.
Integração Numérica: Consiste no cálculo aproximado de integrais através de métodos numéricos. 4

Integração Numérica


Idéia básica da integração numérica:

 Substituição da função f(x)

por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
 Interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x)
 A Integral do polinômio pode ser calculada facilmente.

y

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6

Integração Numérica
Métodos de integração numérica:


Métodos Fechados:






Regra dos Trapézios
Regra 1/3 de Simpson
Regra 3/8 de Simpson

Métodos Abertos:


Fechado

Quadratura de Gauss

Aberto

Regra dos Trapézios




Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.
Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.

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Regra dos Trapézios Simples
Área do trapézio: A=h . (B+b) /2




h - altura do trapézio b - base menor
B - base maior

De acordo com a figura:
 h= b – a = x1 – x0
 b = f(b) = f(x1)
 B = f(a) = f(x0) x1 

Logo,



x0

h f ( x)dx   f ( x0 )  f ( x1 )
2

8

Regra dos Trapézios Simples


9

A Regra dos trapézios simples só é aceitável quando o Intervalo [a, b] é relativamente pequeno.  aproximação do valor do integral é aceitável.

Regra dos Trapézios Simples


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