Professora

UNIVERSIDADE CEUMA
Campus Renascença: Rua Josué Montello, nº 1, Renascença II
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Cálculo Integral
1ª Lista de Exercícios – Integral Indefinida
1 – Conceito de Integral Indefinida
Dada uma função f, uma integral indefinida de f é outra função F tal que a derivada F’ é igual à função f.
Ex.:1 - Seja f(x) = 2x, então a função F(x) = x² é uma integral indefinida de f pois DxF(x) = Dx x 2 = 2x = f ( x ).
Observemos, no entanto, que as funções H(x) = x² + 3; G(x) = x² - 7; M(x) = x² + 2 π são também primitivas da função f(x) = 2x, pois todas satisfazem ao conceito de integral indefinida. Então dizemos que a função f(x) = x²
+ k, k ∈ R, é a primitiva geral da função f(x) = 2x.
Pelo que se disse até aqui, podemos concluir que a integração indefinida é a operação inversa da derivação, (ou da diferenciação) a menos de uma constante.
Símbolo:
Ex.:2 -

∫

Ex.:3 -

∫

xdx =

∫ f(x) = F(x)

 x2

x2
+ k , pois, D x 
+ k  = x = f(x)
 2

2



3x −1 . dx =

2
9

(3x − 1) ³ + k, pois

Dx

2
9

(3x − 1) ³ =

3x − 1

2- FÓRMULAS DA INTEGRAL INDEFINIDA:
Para melhor compreensão e facilidade de comparar, cobraremos as fórmulas da diferencial (derivada x ou dx) e da sua inversa, a integral indefinida em correspondência.
Diferencial

Integral

1 – d (k) = 0. dx = 0

1-

∫ 0.dx = k

2 – d( x m ) = m. x m−1 . dx

2-

∫

3 – d( u m ) = mu m-1du

5 – d(f(x) ± g(x)) = df(x) ± dg(x)

∫
4 - ∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx
5 - ∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

6 – d(sen u ) = cos u du

6-

7 – d(cos u) = sen u du

7 - senu . du = −cosu + k

8 – d(tan u) = sec² u du

8-

4 – d(c.f(x)) = c.d(f(x))

x m dx = u m du =

3-

x m+1
+ k, m ≠ −1 m +1 u m+1
+ k, m ≠ 1 m +1

∫ cosu . du = senu + k
∫

∫ sec

2

u . du = tgu + k

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