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LISTA 1 – ANÀLISE REAL

1. (Desigualdade de Bernoulli) Prove, usando indução, que (1 + x)n
∀x ∈ R, x −1, e ∀n ∈ N.
2. Prove as seguintes unicidades:
(a) Se x + θ = x para algum x ∈ R, então θ = 0.
(b) Se x.u = x para todo x ∈ R, então u = 1.
(c) Se x + y = 0, então y = −x.
(d) Se x.y = 1, então y = x−1 .

3. Dados a, b, c, d ∈ R, se b = 0 e d = 0, prove que:
a.d + b.c a c
+ = b d
b.d
a.c a c
(b) . = b d
b.d
(a)

4. Responda:
(a) Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x − z|
(b) Prove que |x| − |y|

x − y , ∀ x, y ∈ R.

1

|x − y| + |y − z|.

1 + nx,

5. Responda:
(a) Dados x, y ∈ R, se x2 + y2 = 0, prove que x = y = 0. n (ai + x.bi )2 é

(b) Use o fato de que o trinômio do segundo grau f(x) = i=1 0 para todo x ∈ R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
2

n

n

n

a2 i ai .bi i=1 i=1

b2 i .

.

i=1

6. Diz-se que uma função f : X −→ R é limitada superiormente quando sua imagem f(X) = {f(x); x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Então, põe-se sup(f) = sup{f(x); x ∈ X}. Prove que se f, g : X −→ R são limitadas superiormente então:
(a) f + g : X −→ R é limitada superiormente, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x).
(b) sup(f + g) sup(g). sup(f) + sup(g). Dê um exemplo com sup(f + g) < sup(f) +

7. Responda:
(a) Dadas as sequências (xn ) e (yn ), defina (zn ) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn . Se lim(xn ) = a e lim(yn ) = a, prove que lim(zn ) = a
(b) Se lim(xn ) = a, prove que lim |xn | = |a|

8. A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn ) é necessário e suficiente que, para todo ε > 0 e todo k ∈ N dados, exista n > k tal que
|xn − a| < ε.
9. Responda:
(a) Sejam lim(xn ) = a e lim(yn ) = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que para todo n > n0 , então xn < yn .

2

(b) Diz-se que (xn ) é uma sequência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N, tais que ∀m, n ∈ N com m, n > n0 ⇒ xm −xn < ε.
Prove que uma sequência (xn ) é convergente