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Construções elementares
1. Introdução
As construções geométricas aparecem na antiguidade e tiveram enorme importância no desenvolvimento da Matemática. Há 2000 anos atrás a palavra número significava número natural. Não havia números negativos e as frações não eram consideradas números, eram apenas razões entre números. Era de fato complicado. Se não havia ainda a noção de número racional, os números reais então estavam a séculos de distância. Entretanto os gregos tiveram uma idéia engenhosa. A de representar uma grandeza qualquer por um segmento de reta. Esta idéia é equivalente a dizer que todo número real positivo está associado a um ponto de uma semirreta graduada. Hoje, visualizamos o número real x assim:
Antigamente, a mesma idéia era vista assim:
As operações de adição e subtração de segmentos são inteiramente intuitivas.
0 1 x
A B a b a + b
A multiplicação de dois segmentos podia ser visualizada como a área de um retângulo e a razão entre dos segmentos era … . Bem, era simplesmente isso mesmo, a razão entre dois segmentos.
Um problema comum hoje é, por exemplo, o de calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são 2 e 3. A solução é simples e usa o teorema de Pitágoras.
Se x é o comprimento da hipotenusa então
!
x = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 .
O mesmo problema antigamente era enunciado assim: construir o triângulo retângulo cujos catetos medem 2 unidades e 3 unidades. A solução era completamente geométrica. Era dado um segmento unitário u e o triângulo era construido com as medidas dadas.
Observe a figura acima. Se associarmos o segmento u ao número 1, o segmento AB é a visualização do número real
!
13.
Desta forma, calcular de hoje é sinônimo do construir de antigamente e as dificuldades são equivalentes. Se hoje achamos difícil calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo conhecendo o perímetro e a altura relativa à hipotenusa, é igualmente difícil desenhar o triângulo retângulo onde o perímetro e a