Problema

Problema 3
Considere dois triângulos ABC e EFG, tais que
AB ≡ EF,
BC ≡ FG,

∠ {AB, AC} ≡ ∠ {EF, EG}
∠ {BA, BC} > ∠ {FE, FG}.
Suponha que AC é o maior lado do triângulo ABC e prove que existe um ponto D tal que
1)
2)
3)
4)

A–D–C

DB ≡ EF ,
BC ≡ FG
∠ {DB, DC} ≡ ∠ {EF, EG}

Resolução

Considere-se o triangulo ABC da figura 1 ao lado, onde
AC é o maior lado.
A “Proposição 1”1 permite afirmar a existência de um ponto entre A e C, chamemos-lhe X e podemos fazer passar por esse ponto X e por B uma recta. ( a recta a vermelho na figura 2 ) o que prova 1).

Fig 1

A utilização sucessiva da “Proposição 1” permite provar a existência de todos os pontos do segmento AC. As distancias destes pontos do segmento AC ao ponto B percorrem todos os valores do compacto
[ d min, d max ] e se AC é o maior lado do triangulo teremos necessariamente

d min < AB , d max = AC > AB
Fig2
Então, existe em AB um ponto D tal que AB =BD.
Aproveitando agora o lado AB do primeiro triangulo para lado EF do segundo triangulo, ter-se-á DB = EF o

que prova 2).

1

Proposição 1 da geometria euclideana: Dados dois pontos A e B então há um ponto C tal que C está entre A e B.

Agora resta encontrar o vértice G do segundo triangulo.
Como BC ≡ FG, o ponto G será um ponto da circunferência de raio r = BC e centro B (Figura 3) o que garante por construção a condição 3).

Ainda com base na existência de todos os pontos de AC por B e por cada um dos pontos de AC passa uma recta da qual se pode tomar apenas o segmento de comprimento igual a BC (a vermelho na figura).
Tendo em conta que o triangulo ABD é isósceles, tem-se que ∠{ AD, AB} = ∠{DA, DB} (Proposição 12)
(Nota: não sei se vou utilizar isto ou não, mas à cautela….)
Como ∠{BA, BC } > ∠{BD, BC } (por construção), existe um dos segmentos vermelhos tal que

∠{BA, BG} = ∠{BD, BC }
(tudo fica mais ou menos como na Figura 4) uma vez que ao fazermos o ponto G deslocar-se sobre a circunferência fazemos o ângulo ∠{BA, BG} variar continuamente entre o

∠{BA, BD} e