problema do valor inicial

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MATEMATICA
COMPUTACIONAL
Cap. 1. Representa¸c˜ ao de N´ umeros e Teoria de Erros

Filipe J. Romeiras
Departamento de Matem´atica
Instituto Superior T´ecnico

Apontamentos das aulas da disciplina do mesmo nome do 2o ano de
Mestrados Integrados e Licenciaturas em Ciˆencias de Engenharia do Instituto Superior T´ecnico

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˜ DE NUMEROS
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1. REPRESENTAC
¸ AO
E TEORIA DE ERROS

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M´etodo num´erico ✲

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Solu¸c˜ao aproximada ✻

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Problema de
Engenharia

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Modelo matem´ atico

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Solu¸c˜ao exacta ✻

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M´etodo
anal´ıtico aproximado ✲

Solu¸c˜ao aproximada Tipos de erro
• Erros inerentes: modelo matem´atico incompleto; erros nos dados, parˆametros e constantes matem´aticas; exemplos: (i) corpo em movimento vertical na atmosfera terrestre sujeito `a for¸ca de atrac¸ca˜o gravitacional da Terra e `a for¸ca de resistˆencia do ar;
(ii) a reac¸c˜ao de Belousov-Zhabotinski (oscila¸c˜oes qu´ımicas);
(iii) circuitos electr´onicos n˜ao-lineares.
• Erros de m´ etodo (ou de truncatura ou de discretiza¸c˜ ao): exemplos:
(i) c´alculo do valor aproximado da raiz de uma fun¸ca˜o pelo m´etodo de Newton;
(ii) c´alculo do valor aproximado de um integral usando a regra dos trap´ezios composta.
• Erros computacionais: erros de arredondamento; erros de “underflow” e “overflow”.
• Erros de programa¸c˜ ao. Erro, erro absoluto, erro relativo (˜ x ≈ x ∈ R):
Defini¸c˜ao. Seja x ∈ R o valor exacto de uma grandeza real e x˜ um valor aproximado de
x. Definem-se:
Erro de x˜ em rela¸c˜ao a x: ex˜ = x − x˜

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Erro absoluto de x˜ em rela¸ca˜o a x: |ex˜ |
Erro relativo de x˜ em rela¸c˜ao a x = 0: δx˜ =
( Percentagem de erro: 100δx˜ (%)

ex˜
,
x ou ou

|δx˜ |

100|δx˜ |(%) )

Nota. O erro relativo ´e invariante numa mudan¸ca de escala, i.e., sendo y = kx, y˜ = k˜ x, onde k ´e uma constante n˜ao nula, ent˜ao δy˜ = δx˜ .