Probabilidade e estatistica

Capítulo 4

Contagem,
Probabilidade e
Estatística

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O problema dos discos
Adaptado do artigo de

Roberto Ribeiro Paterlini

Temos aplicado o problema do jogo dos discos em classes de estudantes de Licenciatura em
Matemática e temos acompanhado colegas professores que o tem aplicado no ensino médio e fundamental. O problema tem feito muito sucesso.
O problema do jogo dos discos
Uma escola estava preparando uma Feira de
Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem um jogo que servisse para arrecadar fundos. Os estudantes observaram que no salão da Feira o piso era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses quadrados de Paviflex. Pensaram então em construir discos de papelão de um certo diâmetro d que seriam comprados pelos visitantes por
R$ 1,00 cada um. O visitante jogaria o disco aleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousar no piso, tocasse um lado de um quadrado, ele perderia para a escola o que tinha pago. Se, ao contrário, acertasse o disco inteiramente dentro de um quadrado, ele receberia R$ 2,00 (R$ 1,00 como devolução e mais R$ 1,00 como prêmio).

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O problema dos estudantes consistia em determinar o diâmetro d dos discos de modo que o jogo resultasse favorável à escola. Observaram que quanto menor d, melhor para o jogador, e quanto maior d, melhor para a escola. O favorecimento para a escola não deveria ser exagerado, pois, se o jogo fosse muito desfavorável para o jogador, ninguém iria querer jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola seria adequada.
Pergunta 1
Como determinar o valor de d que resulta em uma probabilidade de
40% favorável ao jogador e de 60% à escola?
Pergunta 2
Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos na feira?

Resposta da Pergunta 1
Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro aleatoriamente. Assim, a probabilidade p de o jogador ganhar