Primitivas

Primitivação
A primitivação é a operação inversa da derivação.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo I.
Qualquer função F definida e diferenciável em I tal que
F x  f x , para todo o x I, diz-se uma primitiva de f em I. f diz-se primitivável em I se admitir uma primitiva em I.
Naturalmente, se F for uma primitiva de f, também F  C (em que C é uma constante) é uma primitiva de f.
Mais, num intervalo, todas as primitivas de uma dada função diferem de uma constante:
Proposição: Sejam F e G duas primitivas de f num intervalo I.
Então, F e G diferem de uma constante.
Notação: P x f x , Pf x e Þ f x dx representam (em geral) todas as primitivas de f.
Questões:
Pxf x

?

Px f x

?

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Primitivas 1

Propriedades das Primitivas
Proposição: Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo I e
 R. Então, nesse intervalo, tem-se que:
1. P f x  g x
2. P f x

 Pf x  Pg x ;

 Pf x ;

Atenção: a primitiva do produto não é o produto das primitivas!!!
Proposição: Se f é uma função contínua num intervalo, então f é primitivável nesse intervalo.
Mais:
Proposição: Se f é uma função contínua no intervalo I, para cada x 0 I e y 0 R, existe uma e uma só primitiva F de f em I tal que
F x0  y0.
F x0  y0

condição inicial do problema

A esta questão, de determinar a (única!) primitiva que verifica uma certa condição inicial, chama-se Problema de valores iniciais ou Problema de Cauchy.
Exemplo: Sabendo que a velocidade de uma partícula é dada por v t  e 2t , determine a lei do movimento, considerando que no instante inicial se encontra na origem.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Primitivas 2

Recordemos algumas regras de derivação:
Sendo u e v funções deriváveis e 

R:

  0; uv  u v;

u

 u ;

u. v

 u v  uv ;


u v u n u v uv
, se v2 1

 u u


u

0;

em particular,

1 v 

v v2 ;

u nn v

un 1

, c/