Potência

4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=xn, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=xn para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir.

A forma geral do gráfico de f(x)=xn depende de a ser par ou ímpar. Vamos considerar vários casos: 1o caso) n é um número natural ímpar maior do que 1. Considere, por exemplo, as funções: y= x3 , y= x5 e y=x7 a) Domínio: IR b) Todos os gráficos passam pela origem. c) Tomemos alguns valores para x e calculemos as respectivas imagens. x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 0 1/3 1/2 1 2 3 y= x3 -27 -8 -1 -1/8 -1/27 0 1/27 1/8 1 8 27 y= x5 -243 -32 -1 -1/32 -1/243 0 1/243 1/32 1 32 243 y=x7 -2187 -128 -1 -1/128 -1/2187 0 1/2187 1/128 1 128 2187

Podemos concluir: • Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). • Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. Definição de função ímpar: f(-x)=-f(x), para todo x pertencente ao domínio de f, isto é, quando atribuímos a x valores simétricos, as imagens possuem o mesmo valor absoluto, mas diferem em sinal. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 1

•

Quando x aumenta muito, o mesmo sucede as imagens dessa função. Se x aumenta muito em valor absoluto, porém com sinal negativo, o mesmo sucede com as imagens.

Gráfico:

d) Imagem(f)=IR Se n for ímpar, então f(x)=x n será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de y=x3. Observe a seguir, no entanto, que à medida que n cresce, o gráfico de y=xn torna-se mais achatado quando próximo de zero e mais inclinado quando |x|≥1. 2o caso) Suponhamos que n seja par e maior do que 2. a) b) c) d) Considere, por exemplo, as funções: y= x2 , y= x4 e y=x6 Domínio: IR Imagem: conjunto dos reais não negativos: IR+. Todos os gráficos passam pela origem. Tomemos alguns valores para x e calculemos as respectivas imagens. x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 0 1/3 1/2 1 2 3 y= x2 9 4 1 ¼ 1/8 0 1/8 1/3 1 4 9 y= x4 81 16 1 1/16 1/81 0 1/81 1/16 1 16 81 y=x6 729 64 1 1/64 1/729 0 1/729 1/64 1 64