Poque 0,999....é = 1

Uma "demonstração" rápida mas muito simples é essa:

Seja x = 0,9999...
Então 10 x = 9,9999...
Logo, 10 x - x = 9,9999... - 0,9999...
Chegamos que 9 x = 9 e x =1.

Uma demonstração rigorosa é fácil, usando a série geométrica. Antes um aviso. O que significa 0,9999...? Se lembrarmos o que significa a representação decimal, é fácil.

O que significa 2,24? Não é a mesma coisa que

2 + 2/10 + 4/100?

Segue que 0,9999... é a mesma coisa que

0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Perceba que a soma "não para" ou "não tem fim". Não tem um último 9 lá na direita. Somas desse tipo, com infinitos termos, são conhecidas como séries em matemática. O jeito de se tornar esse negócio de "soma infinita" ou série rigoroso é visto num curso de cálculo ou de análise.

No colégio, vemos apenas uma série, a série geométrica. Se x é um número real tal que -1 < x < 1, então segue que

1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... = 1/(1-x)

Vamos voltar ao nosso 0,9999.... .

0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... + 9/10^n + ...

Vamos fatorar o 9 no termo da direita:

0,9999... = 9* (1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... + 1/10^n + ...)

Vou chamar essa expressão de A.

Agora, olhando a nossa série geométrica, com x = 1/10, temos que:

1 + 1/10 + 1/100 + ... = 1/(1-1/10) = 10/9.

Então, subtraindo 1 dos dois lados,

1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 1/9.

Substituindo isso na nossa expressão A, chegamos que

0,999999... = 9 * 1/9 = 1.