ponto de inflexao

Concavidade e ponto de inflexão :
Definição e propriedades relacionadas com o sinal da 2a derivada

Concavidade Definição : Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para baixo em I se, e somente se, para todo x  I, sendo x diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra abaixo da reta tangente ao gráfico de f no ponto Po(c, f(c)).

Definição : Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para cima em I se, e somente se, para todo x  I, sendo x diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra acima da reta tangente ao gráfico de f no ponto Po(c, f(c)).

Teorema : Seja f uma função derivável num intervalo aberto (a, b). Então
i) se f”(x)  0,  x  (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para cima (a curva é côncava) neste intervalo. ii) se f”(x)  0,  x  (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para baixo (a curva é convexa) neste intervalo.

Exemplos :
1) f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 f’(x) = 3x2 –12x + 9 f”(x) = 6x – 12 x = 2 f”(2) > 0, se x > 2 f”(2) < 0, se x < 2 a curva de f tem sua convexidade voltada para cima para x > 2. a curva de f tem sua convexidade voltada para baixo para x < 2.

2) f(x) = 2 – x2 f’(x) = - 2x f”(x) = - 2 < 0 a convexidade da curva é sempre orientada para baixo.

3) f(x) = ex f’(x) = ex f”(x) = ex > 0 a convexidade da curva é sempre orientada para cima.

Definição : Dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico da função f, se o gráfico da função f tiver neste ponto reta tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que, se x  I, então
i) f”(x) < 0, se x < c e f”(x) > 0, se x > c. ii) f”(x) > 0, se x < c e f”(x) < 0, se x > c.
Isto é, “se f muda de concavidade em c”.

Teorema :