Polinômios

Páginas: 2 (330 palavras) Publicado: 12 de outubro de 2011
Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grauP(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)

Exemplos:
Fatorar opolinômio P(x)=x2-4.
Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).

Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
Resolução: Fazendox2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.
Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de umpolinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguidadecompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.
Resolução:
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2-x-1)= 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
Uma das raízes já encontramos (x=0).
As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.
Portanto, o polinômio2x3-x2-x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemosdecompô-lo em fatores da seguinte forma:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)

Observações:
Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos quesão raízes duplas, triplas, etc.
Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
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