Poliedros convexos regulares

Ano lectivo 2011/2012

MATEMÁTICA

Catarina Oliveira
Andreia Diogo
Daniel Simões
Samuel Félix
10ºE
Poliedros convexos regulares

Um poliedro convexo regular é um polígono cujas faces são todas iguais e regulares. Existem apenas cinco sólidos platónicos (poliedros convexos regulares):

Cubo
Tetraedro
Icosaedro

Octaedro
Dodecaedro

Diz-se que um poliedro é platónico se:
a) For convexo;
b) Em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) Todas as faces tiverem o mesmo número de arestas;
d) For válida a relação de Euler (F+V=A+2).

Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360° para que esse poliedro seja regular.
Analisando cada caso observamos que:

Para o caso de 3 faces ligadas a um vértice, o mínimo de faces necessárias para formam um ângulo sólido: * Quando as faces do poliedro forem triângulos regulares (ângulo interno 60°), teremos 3 * 60° = 180°. * Quando as faces do poliedro forem quadrados regulares (ângulo interno 90°), teremos 3 * 90° = 270°. * Quando as faces do poliedro forem pentágonos regulares (ângulo interno 108°), teremos 3 * 108° = 324°. * Quando as faces do poliedro forem hexágonos regulares (ângulo interno 120°), teremos 3 * 120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Logo, verificamos para esse caso que as faces dos poliedros regulares não podem ser formadas por polígonos regulares com mais de cinco lados.

Para o caso de 4 faces ligadas a um vértice: * Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 4 * 60° = 240°. * Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4 * 90° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Logo, verificamos para esse caso que um poliedro regular construído com 4 faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triangulares.

Para o caso de 5 faces ligadas ao mesmo vértice: * Quando as faces do poliedro forem triângulos,