Plano

Plano complexo

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:
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Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:
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O mód ulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

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Exemplo
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i.

Módulo a = 1 e b = 2
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Argumento
Ө = Arg(z)
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Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.

Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.
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Módulo de um número complexo

Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca doo comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:

O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z|, veja que se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo AOC, podemos obter uma expressão para o módulo de z , |z|.
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Veja que foi utilizado um número complexo qualquer, portanto, a expressão obtida para o módulo de um número complexo é