Perfeito

Teoremas de Green, Stokes e Gauss por Milton Procópio de Borba

Estes teoremas reduzem o trabalho quando fazemos algumas integrais demoradas.

O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa.
| |[pic] |
|Consideremos uma região R regular limitada pelas curvas C1: y = f(x) e | |
|C2: y = g(x) , | |
|ambas definidas para x entre x = a e x = b . | |
|Para cada função U( x , y ), temos que | |

[pic]= [pic] = [pic]
Então, por trocas de sinais, conseguimos
-[pic]=[pic]+[pic]=[pic]+[pic],
ou seja: –[pic] = [pic] , com C = C1 ( C2

De modo análogo, se R também for regular limitada pelas curvas
C3: x = p(y) e C4: x = q(y) , ambas definidas para y entre y = c e y = d , para cada função V( x , y ), temos que [pic]=[pic]= [pic]+[pic],

ou seja: [pic] = [pic] . com C = C3 ( C4
Quando R não for regular nas duas direções (OX e OY), podemos dividí-la em regiões assim regulares.

Numa só equação, temos o enunciado do

Teorema de Green

Se U , V , (xV e (xV forem contínuas numa região R (do plano XoY), então
[pic] = [pic] = [pic].dS , com C = fronteira de R, de forma que R fique na esquerda quando percorremos C no sentido de integração.

Exemplo:
Seja a função F( x , y ) = [ x + 2y2 , x2 +3y ] e a curva C dada pelo bordo do quadrado [ 0 , 1 ]2, z = 0.
Calcule a integral de linha [pic].dS para a curva orientada no sentido anti-horário.
Solução (sem usar