Padre

Páginas: 5 (1225 palavras) Publicado: 7 de junho de 2013
1. Considere o hexágono regular ABCDEF
[pic]. Determine:
a) [pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]. Resp.: 6[pic]
b) 2[pic]+[pic]-3[pic]. resp.: [pic]
c) O ângulo entre os vetores [pic] e [pic]. Resp.: 150°
d) O ângulo entre os vetores [pic]+[pic] e [pic]. Resp.: 60º
e) As coordenadas dos demais pontos do hexágono sabendo que B( -2, 5) e os vetores [pic] e [pic] têm amesma direção, têm sentidos opostos e [pic].


2. Considere o paralelepípedo ABCDEFGH
[pic]. Determine
a) [pic]+[pic]- [pic]+ [pic]
b) [pic]- [pic]+ [pic]+ [pic]
c) Suponha que: H( -1, 1, 2); [pic] e [pic] são ortogonais; [pic] e [pic] são ortogonais; [pic] e [pic] são ortogonais; [pic]; [pic]; os vetores [pic] e [pic] têm o mesmo sentido e mesmo comprimento; [pic]e [pic]têm o mesmosentido; e [pic] e [pic]têm o mesmo sentido. Determine as coordenadas dos demais pontos.

3. Considere os vetores [pic]=(1,-1,3), [pic]=(2,1,3), [pic]=(-1,-1,4), determine:
a) [pic]+2[pic]-3[pic]; resp.: (8,4,-3)
b) Mostre que os vetores [pic],[pic] e [pic] não são coplanares, ou seja, o conjunto formado pelos três vetores é um conjunto linearmente independente.c) É possível determinar a,b,c tais que (4,0,13) = a[pic]+b[pic]+c[pic]; resp.: a=1, b=2 e c=1.
4. Sejam [pic]=(1,2,3), [pic]=(m-1,1,m-2) e [pic]=(m+1, m-1,2), determine:
a) É possível determinar o valor de m de modo que [pic] seja combinação linear de [pic] e [pic]? Resp.: não
b) É possível determinar o valor de m para que {[pic],[pic],[pic]} seja um conjunto linearmentedependente? Resp.: m=0 ou m=3
5. Determine os valores de a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) e C(a,b,7). Resp.: a=-3 e b=13.
6. Considere os pontos A(2,5,-1) e B(3,0,-2). Determine as coordenadas do ponto C tais que A, B e C sejam colineares e o comprimento de BC triplique o comprimento de BA. Resp.: C(0,15,1) ou C(6,-15,-5).
7. Verifique se os pontosA(2,4,0), B(0,4,3) e C(4,-5,-3) são colineares. Caso negativo, verifique se o triângulo ABC é retângulo.
8. Considere os pontos A(2 , 3 , -4), B(3 , 1 , 2) e C( -3 , 0 , 4).
a) Determine as coordenadas de todos os possíveis pontos D tais que [pic] e [pic] é um conjunto linearmente dependente. Resp.: D(4 , -1 , 8) ou D(0 , 7 , -16).
b) As coordenadas do pé da altura dotriângulo ABC relativa ao vértice B. resp.: H(-1/2,3/2,0).
9. Considere os pontos A(2,3,1), B(4,1,-2) C(-5,-4,8) e D(-1, -2, 0).
a) Verifique se os pontos são coplanares. Caso negativo, determine o volume do tetraedro determinado pelos vetores 2AB, 1/2BC e 2/3AD.
b) Determine o comprimento da altura do tetraedro traçada do vértice B.
10. Calcule a medida angular entreos vetores u e v, nos seguintes casos:
a) u=(1,0,1) e v=(-2,10,2) resp.: 90º
b) u=(3,3,0) e v=(2,1,-1) resp.: 45º
c) u=(-1,1,1) e v=(1,1,1) resp.: arcos(1/3)
d) u=(300,300,0) e v=(-2000,-1000,2000) resp.: 135º
11. Considere dois vetores não-nulos u e v ortogonais e de norma igual. Suponha que w é um vetor não-nulo tal que u é combinação linear de v e w e=. Determine o ângulo entre os vetores u e w e entre os vetores v e w. resp.: 45° ou 135º.
12. Considere o quadrado ABCD e suponha que o lado mede 2 u.c. e M é o ponto médio de BC. Calcule o ângulo entre os vetores [pic] e [pic]. (Sugestão: escreva [pic] e [pic] em função de [pic] e [pic]) resp.: arcos(-3/ [pic]).
13. Suponha que o ângulo entre u e v é 45º, norma de u é [pic] e o vetor ué unitário. Determine o ângulo entre os vetores u + v e u - v. resp.: arcos(4/[pic]).
14. Considere u= 2[pic]-2[pic]+[pic] e v=(3,-6,0). Determine vetores w e x tais que v = w +x, {w,u} é ld e x.u=0. (sugestão: w é a projeção ortogonal de v sobre u) resp.: w=(4,-4,2) e x =(-1,-2,-2).
15. Sabendo que u e v são vetores de norma 1 e 7, respectivamente e o ângulo entre eles é 30º....
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