P1

MA502 Turma P 2S 2011 - Prova 1

RA:

Nome:

13/09/2011

1. Dˆe um exemplo de uma sequˆencia decrescente de intervalos fechados cuja intersec¸c˜ao seja vazia e um exemplo de uma sequˆencia decrescente de intervalos limitados cuja intersec¸c˜ao seja vazia. Isso contraria a propriedade dos intervalos encaixantes?
2. (a) Mostre que lim xn = 0 se e somente se lim |xn | = 0.
(b) Mostre qual ´e o limite de lim sen(n) n 3. Escreva a nega¸c˜ ao matem´ atica das seguintes express˜oes. Nos itens (a) e (b) aponte se a senten¸ca ou se sua inversa ´e matematicamente verdadeira.
(a) ∀x > 0, ∃n0 ∈ N; n > n0 =⇒ x ∈ [−n, n].
(b) ∃n0 ∈ N; ∀x > 0; n > n0 =⇒ x ∈ [−n, n].
(c) lim xn = L
4. Exprima N = N1 ∪ N2 ∪ · · · ∪ Nn ∪ · · · como uma uni˜ao infinita de subconjuntos infinitos disjuntos.
5. (a) Enuncie o axima do supremo deixando expl´ıcito o corpo onde ele vale e dando um exemplo de corpo onde ele n˜ ao vale.
(b) Mostre que esse axioma implica que para todo ε > 0, existe um inteiro n tal que trata-se de um corpo arquimediano).

1 n < ε (i.e.

(c) Equivalentemente ao item anterior, para todo 0 < a, b, existe um inteiro n tal que na > b.
(d) Agora use esse resultado para mostrar que dado um intervalo n˜ao degenerado I = (a, b) e um n´ umero natural p > 1, existe um n´ umero racional da forma pmn com m ∈ Z e n ∈ N que est´a em
I.